Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16399
2024-03-16 
На прямолинейную горизонтальную спицу насажены два шарика, которые могут скользить по ней без трения (см. рис.). К шарику массой $m$ прикреплена легкая пружина жесткостью $k$. Эта система неподвижна, а шарик массой $2m$ движется со скоростью $v_{0}$. Определите скорость шарика массой $2m$ после отрыва от пружины и время контакта этого шарика с пружиной. Радиусы шаров много меньше длины пружины.
Решение:
Скорость центра масс в лабораторной системе координат составляет
$u = \frac{2}{3} v_{0}$.
Перейдем в систему отсчета, связанную с центром масс. Скорость шарика массой $2m$ до взаимодействия с пружиной в этой системе равна
$v_{1ц} = v_{0} - u = \frac{v_{0}}{3}$,
а скорость шарика массой $m$ направлена в противоположную сторону и равна по величине
$v_{2ц} = u = \frac{2}{3} v_{0}$.
Как только шарик массой $2m$ достигнет пружины, скорости шариков начнут уменьшаться, а пружина будет сжиматься. В некоторый момент, когда вся кинетическая энергия шариков перейдет в потенциальную энергию упругой деформации пружины, шарики остановятся, а затем начнут ускоряться в противоположных направлениях. Когда пружина примет свою первоначальную длину, шарик массой $2m$ оторвется от пружины и будет иметь скорость, равную $v_{1ц}$ и направленную в другую сторону по отношению к первоначальной. Но это - скорость в системе центра масс, а нам нужно найти скорость этого шарика в лабораторной системе отсчета.
Для этого перейдем обратно в лабораторную систему отсчета. В этой системе скорость шарика массой $2m$, очевидно, будет равна
$v_{1л} = u - v_{1ц} = \frac{v_{0}}{3}$.
Относительная потеря кинетической энергии шарика составит
$\alpha = \frac{v_{0}^{2} - v_{1л}^{2}}{v_{0}^{2}} = \frac{8}{9}$.
Для ответа на второй вопрос заметим, что когда шарик массой $2m$ находится в контакте с пружиной, эта ситуация эквивалентна колебаниям шарика на горизонтально расположенной пружине, один конец которой закреплен. Закрепленным концом является центр масс, который остается неподвижным в системе отсчета, связанной с центром масс. Если длина нашей пружины $l$, то длина эквивалентной пружины составит
$l_{экв} = \frac{m_{2}l}{m_{1} + m_{2}}$.
Теперь нужно сообразить, чему будет равна жесткость пружины длиной $l_{экв}$, если жесткость исходной пружины $k$. Это право мы предоставляем
читателю, а сами напишем готовый ответ:
$k_{экв} = \frac{lk}{l_{экв}} = \frac{(m_{1} + m_{2})k}{m_{2}} = 3k$.
Очевидно, что время контакта шарика массой $2m$ с пружиной равно половине периода гармонических колебаний шарика на эквивалентной пружине:
$\tau = \frac{1}{2} \cdot 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{1}}{k_{экв}}} = \pi \sqrt{ \frac{2m}{3k}}$.
На прямолинейную горизонтальную спицу насажены два шарика, которые могут скользить по ней без трения (см. рис.). К шарику массой $m$ прикреплена легкая пружина жесткостью $k$. Эта система неподвижна, а шарик массой $2m$ движется со скоростью $v_{0}$. Определите скорость шарика массой $2m$ после отрыва от пружины и время контакта этого шарика с пружиной. Радиусы шаров много меньше длины пружины.
Решение:
Скорость центра масс в лабораторной системе координат составляет
$u = \frac{2}{3} v_{0}$.
Перейдем в систему отсчета, связанную с центром масс. Скорость шарика массой $2m$ до взаимодействия с пружиной в этой системе равна
$v_{1ц} = v_{0} - u = \frac{v_{0}}{3}$,
а скорость шарика массой $m$ направлена в противоположную сторону и равна по величине
$v_{2ц} = u = \frac{2}{3} v_{0}$.
Как только шарик массой $2m$ достигнет пружины, скорости шариков начнут уменьшаться, а пружина будет сжиматься. В некоторый момент, когда вся кинетическая энергия шариков перейдет в потенциальную энергию упругой деформации пружины, шарики остановятся, а затем начнут ускоряться в противоположных направлениях. Когда пружина примет свою первоначальную длину, шарик массой $2m$ оторвется от пружины и будет иметь скорость, равную $v_{1ц}$ и направленную в другую сторону по отношению к первоначальной. Но это - скорость в системе центра масс, а нам нужно найти скорость этого шарика в лабораторной системе отсчета.
Для этого перейдем обратно в лабораторную систему отсчета. В этой системе скорость шарика массой $2m$, очевидно, будет равна
$v_{1л} = u - v_{1ц} = \frac{v_{0}}{3}$.
Относительная потеря кинетической энергии шарика составит
$\alpha = \frac{v_{0}^{2} - v_{1л}^{2}}{v_{0}^{2}} = \frac{8}{9}$.
Для ответа на второй вопрос заметим, что когда шарик массой $2m$ находится в контакте с пружиной, эта ситуация эквивалентна колебаниям шарика на горизонтально расположенной пружине, один конец которой закреплен. Закрепленным концом является центр масс, который остается неподвижным в системе отсчета, связанной с центром масс. Если длина нашей пружины $l$, то длина эквивалентной пружины составит
$l_{экв} = \frac{m_{2}l}{m_{1} + m_{2}}$.
Теперь нужно сообразить, чему будет равна жесткость пружины длиной $l_{экв}$, если жесткость исходной пружины $k$. Это право мы предоставляем
читателю, а сами напишем готовый ответ:
$k_{экв} = \frac{lk}{l_{экв}} = \frac{(m_{1} + m_{2})k}{m_{2}} = 3k$.
Очевидно, что время контакта шарика массой $2m$ с пружиной равно половине периода гармонических колебаний шарика на эквивалентной пружине:
$\tau = \frac{1}{2} \cdot 2 \pi \sqrt{ \frac{m_{1}}{k_{экв}}} = \pi \sqrt{ \frac{2m}{3k}}$.
