Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16397
2024-03-16 
В вертикальный цилиндрический стакан налита вязкая жидкость с коэффициентом преломления $n = 1,5$. Сверху в стакан вертикально падает параллельный пучок света постоянной интенсивности. Стакан с жидкостью раскрутили вокруг его оси до угловой скорости $\omega = 1 с^{-1}$, при этом высота столба жидкости на оси стакана стала равной $h = 30 см$. На сколько процентов изменилась после раскручивания интенсивность света, падающего вблизи центра дна стакана? Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$ , поглощением света в жидкости и отражением его внутри стакана пренебречь.
Решение:
При вращении жидкости вместе со стаканом ее поверхность искривляется (см. рисунок), вследствие чего параллельный пучок света после преломления становится расходящимся. Рассмотрим небольшой элемент жидкости, находящийся на ее поверхности на расстоянии $r$ от оси вращения $OO_{1}$. На него действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и суммарная сила давления $\vec{N}$ со стороны остальной жидкости. Эти силы обеспечивают равномерное вращение рассматриваемого элемента по окружности с угловой скоростью $\omega$ , сообщая ему центростремительное ускорение. Уравнения движения этого элемента в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси имеют вид:
$m \omega^{2} r = N \sin \alpha, mg = N \cos \alpha$,
где $\alpha$ - угол наклона к горизонту поверхности жидкости в данной точке. Отсюда находим:
$tg \alpha = \frac{ \omega^{2}r}{g}$.
Луч света, идущий вдоль оси вращения $O_{1}O$, не преломляется. Рассмотрим ход луча $ABC$, преломляющегося в точке $B$ на небольшом расстоянии $r$ от оси вращения. В соответствии с законом преломления света,
$\sin \alpha = n \sin \beta$.
Углы $\alpha, \beta$ и $\gamma = \alpha - \beta$ можно считать малыми, так что $\alpha \approx \sin \alpha \approx tg \alpha, \beta \approx \sin \beta, \gamma \approx tg \gamma$. Тогда
$\alpha \approx \frac{ \omega^{2}r}{g}, \gamma = \alpha - \beta \approx \alpha - \frac{ \alpha}{n} = \frac{ \omega^{2}r}{g} \frac{n-1}{n}$.
Далее найдем расстояние $OC$ от оси вращения до точки падения преломленного луча на дно стакана:
$OC = OD + DC \approx r + \gamma h = r \left ( 1 + \frac{ \omega^{2}h}{g} \frac{n -1}{n} \right )$.
Пока жидкость была не раскручена, все лучи, идущие на расстоянии меньше $r$ от оси $O_{1}O$, не преломлялись и попадали в круг радиусом $r$ на дне, т.е. энергия этого пучка распределялась по площади
$S_{0} = \pi r^{2}$.
После раскручивания жидкости эти же лучи попадут в круг на дне радиусом $OC$, т.е. энергия пучка распределится по площади
$S_{1} = \pi \cdot OC^{2} = \pi r^{2} \left ( 1 + \frac{ \omega^{2}h}{g} \frac{n-1}{n} \right )^{2}$.
Поэтому интенсивность света, падающего вблизи центра дна стакана, изменится в
$k = \frac{S_{0}}{S_{1}} = \left ( 1 + \frac{ \omega^{2}h }{g} \frac{n-1}{n} \right )^{-2} = \left ( 1 + \frac{1^{2} \cdot 0,3}{10} \frac{1,5 - 1}{1,5} \right )^{-2} = (1 + 0,01)^{-2} \approx \frac{1}{1,02} \approx 0,98$ раз,
т.е. уменьшится на
$\delta \approx \frac{2 \omega^{2} h}{g} \frac{n - 1}{n} = 2$%
В вертикальный цилиндрический стакан налита вязкая жидкость с коэффициентом преломления $n = 1,5$. Сверху в стакан вертикально падает параллельный пучок света постоянной интенсивности. Стакан с жидкостью раскрутили вокруг его оси до угловой скорости $\omega = 1 с^{-1}$, при этом высота столба жидкости на оси стакана стала равной $h = 30 см$. На сколько процентов изменилась после раскручивания интенсивность света, падающего вблизи центра дна стакана? Ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$ , поглощением света в жидкости и отражением его внутри стакана пренебречь.
Решение:
При вращении жидкости вместе со стаканом ее поверхность искривляется (см. рисунок), вследствие чего параллельный пучок света после преломления становится расходящимся. Рассмотрим небольшой элемент жидкости, находящийся на ее поверхности на расстоянии $r$ от оси вращения $OO_{1}$. На него действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и суммарная сила давления $\vec{N}$ со стороны остальной жидкости. Эти силы обеспечивают равномерное вращение рассматриваемого элемента по окружности с угловой скоростью $\omega$ , сообщая ему центростремительное ускорение. Уравнения движения этого элемента в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси имеют вид:
$m \omega^{2} r = N \sin \alpha, mg = N \cos \alpha$,
где $\alpha$ - угол наклона к горизонту поверхности жидкости в данной точке. Отсюда находим:
$tg \alpha = \frac{ \omega^{2}r}{g}$.
Луч света, идущий вдоль оси вращения $O_{1}O$, не преломляется. Рассмотрим ход луча $ABC$, преломляющегося в точке $B$ на небольшом расстоянии $r$ от оси вращения. В соответствии с законом преломления света,
$\sin \alpha = n \sin \beta$.
Углы $\alpha, \beta$ и $\gamma = \alpha - \beta$ можно считать малыми, так что $\alpha \approx \sin \alpha \approx tg \alpha, \beta \approx \sin \beta, \gamma \approx tg \gamma$. Тогда
$\alpha \approx \frac{ \omega^{2}r}{g}, \gamma = \alpha - \beta \approx \alpha - \frac{ \alpha}{n} = \frac{ \omega^{2}r}{g} \frac{n-1}{n}$.
Далее найдем расстояние $OC$ от оси вращения до точки падения преломленного луча на дно стакана:
$OC = OD + DC \approx r + \gamma h = r \left ( 1 + \frac{ \omega^{2}h}{g} \frac{n -1}{n} \right )$.
Пока жидкость была не раскручена, все лучи, идущие на расстоянии меньше $r$ от оси $O_{1}O$, не преломлялись и попадали в круг радиусом $r$ на дне, т.е. энергия этого пучка распределялась по площади
$S_{0} = \pi r^{2}$.
После раскручивания жидкости эти же лучи попадут в круг на дне радиусом $OC$, т.е. энергия пучка распределится по площади
$S_{1} = \pi \cdot OC^{2} = \pi r^{2} \left ( 1 + \frac{ \omega^{2}h}{g} \frac{n-1}{n} \right )^{2}$.
Поэтому интенсивность света, падающего вблизи центра дна стакана, изменится в
$k = \frac{S_{0}}{S_{1}} = \left ( 1 + \frac{ \omega^{2}h }{g} \frac{n-1}{n} \right )^{-2} = \left ( 1 + \frac{1^{2} \cdot 0,3}{10} \frac{1,5 - 1}{1,5} \right )^{-2} = (1 + 0,01)^{-2} \approx \frac{1}{1,02} \approx 0,98$ раз,
т.е. уменьшится на
$\delta \approx \frac{2 \omega^{2} h}{g} \frac{n - 1}{n} = 2$%
