Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16396
2024-03-16 
Два гармонических вибратора, совершающих колебания с одинаковой частотой со сдвигом начальных фаз $\Delta \phi_{0} = \frac{ \pi}{4}$, находятся на расстоянии $l$ друг от друга. При каких углах $\theta$ (см. рисунок) интенсивность излучения максимальна, если $l = \frac{ \lambda}{4}; l = 3 \lambda$?
Решение:
Пусть уравнения бегущих волн, создаваемых первым и вторым вибратором, соответственно имеют вид:
$\xi_{1} = A_{0} \sin ( \omega t - kr_{1}), \xi_{2} = A_{0} \sin ( \omega t - kr_{2} - \Delta \phi_{0})$,
где $r_{1}$ и $r_{2}$ - расстояния, пройденные каждой 1 волной от соответствующих вибраторов до точки наблюдения (см. рисунок).
Условие максимума интенсивности будет
$\Delta \phi = 2 \pi n, n = 0,1,2, \cdots$
Тогда
$\Delta \phi = \phi_{2} - \phi_{1} = k(r_{1} - r_{2}) - \Delta \phi_{0} = \frac{2 \pi \lambda} (r_{1} - r_{2}) = \frac{2 \pi}{ \lambda} l \sin \theta - \Delta \phi_{0} = 2 \pi n$,
откуда
$\sin \theta_{n} = \left ( n + \frac{ \Delta \phi_{0}}{2 \pi } \right ) \frac{ \lambda}{l}, n = 0,1,2, \cdots$
Теперь рассмотрим два случая, которые даны в условии задачи.
1) $l = \frac{ \lambda}{4}$.
$\sin \theta_{n} = 4 \left ( n + \frac{1}{8} \right )$.
Данному соотношению удовлетворяет только одно значение $n = 0$ (при других $n$ не выполняется $\sin \theta < 1$). Значит
$\sin \theta_{0} = \frac{1}{2}, \theta_{0} = \frac{ \pi}{6}$.
2) $l = 3 \lambda$.
$\sin \theta_{n} = \frac{1}{3} \left ( n + \frac{1}{8} \right )$.
В этом случае условию $\sin \theta < 1$ соответствуют три значения угла с $n = 0, n = 1, n = 2$. Тогда
$\theta_{0} = arcsin \frac{1}{24}, \theta_{1} = arcsin \frac{9}{24}, \theta_{2} = arcsin \frac{17}{24}$.
Два гармонических вибратора, совершающих колебания с одинаковой частотой со сдвигом начальных фаз $\Delta \phi_{0} = \frac{ \pi}{4}$, находятся на расстоянии $l$ друг от друга. При каких углах $\theta$ (см. рисунок) интенсивность излучения максимальна, если $l = \frac{ \lambda}{4}; l = 3 \lambda$?
Решение:
Пусть уравнения бегущих волн, создаваемых первым и вторым вибратором, соответственно имеют вид:
$\xi_{1} = A_{0} \sin ( \omega t - kr_{1}), \xi_{2} = A_{0} \sin ( \omega t - kr_{2} - \Delta \phi_{0})$,
где $r_{1}$ и $r_{2}$ - расстояния, пройденные каждой 1 волной от соответствующих вибраторов до точки наблюдения (см. рисунок).
Условие максимума интенсивности будет
$\Delta \phi = 2 \pi n, n = 0,1,2, \cdots$
Тогда
$\Delta \phi = \phi_{2} - \phi_{1} = k(r_{1} - r_{2}) - \Delta \phi_{0} = \frac{2 \pi \lambda} (r_{1} - r_{2}) = \frac{2 \pi}{ \lambda} l \sin \theta - \Delta \phi_{0} = 2 \pi n$,
откуда
$\sin \theta_{n} = \left ( n + \frac{ \Delta \phi_{0}}{2 \pi } \right ) \frac{ \lambda}{l}, n = 0,1,2, \cdots$
Теперь рассмотрим два случая, которые даны в условии задачи.
1) $l = \frac{ \lambda}{4}$.
$\sin \theta_{n} = 4 \left ( n + \frac{1}{8} \right )$.
Данному соотношению удовлетворяет только одно значение $n = 0$ (при других $n$ не выполняется $\sin \theta < 1$). Значит
$\sin \theta_{0} = \frac{1}{2}, \theta_{0} = \frac{ \pi}{6}$.
2) $l = 3 \lambda$.
$\sin \theta_{n} = \frac{1}{3} \left ( n + \frac{1}{8} \right )$.
В этом случае условию $\sin \theta < 1$ соответствуют три значения угла с $n = 0, n = 1, n = 2$. Тогда
$\theta_{0} = arcsin \frac{1}{24}, \theta_{1} = arcsin \frac{9}{24}, \theta_{2} = arcsin \frac{17}{24}$.
