Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16395
2024-03-16 
На столе лежит пружина жесткостью $k$ и длиной $a$, изготовленная из проволоки длиной $L$. Насколько удлинится пружина, если по ней пропустить ток $I$?
Решение:
После того, как по пружине пропустили ток и она деформировалась, полная энергия будет складываться из энергии упруго деформированной пружины $W_{упр}$ и энергии магнитного поля в катушке $W_{п}$. Упругая энергия пружины равна
$W_{упр} = \frac{k(h - a)^{2}}{2}$, (1)
где $h$ - длина пружины после ее растяжения.
Энергию магнитного поля в катушке найдем как произведение плотности энергии $w = \frac{ \mu H^{2}}{2}$ и объема катушки $V = hS = h \pi r^{2}$:
$W_{п} = \frac{ \mu H^{2}}{2} h \pi r^{2}$, (2)
где $H$ - напряженность магнитного поля, $r$ - радиус витка, который находим из соотношения:
$L^{2} = h^{2} + (2 \pi r N)^{2}$, (3)
где $N$ - полное число витков. Тогда из (3) следует:
$(rN)^{2} = \frac{L^{2} - h^{2}}{4 \pi^{2}}$. (4)
Напряженность магнитного поля можно найти из $Hh = NI$:
$H = \frac{NI}{h}$. (5)
Подставляя (4) и (5) в (2), получим:
$W_{п} = \frac{ \mu_{0}I^{2}}{2h} \pi (rN)^{2} = \frac{ \mu_{0}I^{2}}{2h} \pi \frac{L^{2} - h^{2}}{4 \pi^{2}} = \frac{ \mu_{0}I^{2}}{8 \pi} \left ( \frac{L^{2}}{h} - h \right )$. (6)
С учетом (1) и (6) полная энергия пружины равна
$W_{п} = W_{упр} + W_{п} = \frac{k(h - a)^{2}}{2}+ \frac{ \mu_{0}I^{2}}{8 \pi} \left ( \frac{L^{2}}{h} - h \right )$.
Из условия минимума энергии $\frac{ \partial W}{ \partial h} = 0$ получим:
$k(h - a) = \frac{ \mu_{0}I^{2} }{ 8 \pi } \left ( \frac{L^{2}}{h^{2}} + 1 \right )$.
Поскольку эффект невелик, то можно записать:
$k(h - a) \approx \frac{ \mu_{0} I^{2}}{8 \pi} \left ( \frac{L^{2}}{a^{2}} + 1 \right )$,
откуда удлинение пружины равно
$\Delta = h - a = \frac{ \mu_{0}I^{2}}{8 \pi k} \left ( \frac{L^{2}}{a^{2}} + 1 \right )$.
На столе лежит пружина жесткостью $k$ и длиной $a$, изготовленная из проволоки длиной $L$. Насколько удлинится пружина, если по ней пропустить ток $I$?
Решение:
После того, как по пружине пропустили ток и она деформировалась, полная энергия будет складываться из энергии упруго деформированной пружины $W_{упр}$ и энергии магнитного поля в катушке $W_{п}$. Упругая энергия пружины равна
$W_{упр} = \frac{k(h - a)^{2}}{2}$, (1)
где $h$ - длина пружины после ее растяжения.
Энергию магнитного поля в катушке найдем как произведение плотности энергии $w = \frac{ \mu H^{2}}{2}$ и объема катушки $V = hS = h \pi r^{2}$:
$W_{п} = \frac{ \mu H^{2}}{2} h \pi r^{2}$, (2)
где $H$ - напряженность магнитного поля, $r$ - радиус витка, который находим из соотношения:
$L^{2} = h^{2} + (2 \pi r N)^{2}$, (3)
где $N$ - полное число витков. Тогда из (3) следует:
$(rN)^{2} = \frac{L^{2} - h^{2}}{4 \pi^{2}}$. (4)
Напряженность магнитного поля можно найти из $Hh = NI$:
$H = \frac{NI}{h}$. (5)
Подставляя (4) и (5) в (2), получим:
$W_{п} = \frac{ \mu_{0}I^{2}}{2h} \pi (rN)^{2} = \frac{ \mu_{0}I^{2}}{2h} \pi \frac{L^{2} - h^{2}}{4 \pi^{2}} = \frac{ \mu_{0}I^{2}}{8 \pi} \left ( \frac{L^{2}}{h} - h \right )$. (6)
С учетом (1) и (6) полная энергия пружины равна
$W_{п} = W_{упр} + W_{п} = \frac{k(h - a)^{2}}{2}+ \frac{ \mu_{0}I^{2}}{8 \pi} \left ( \frac{L^{2}}{h} - h \right )$.
Из условия минимума энергии $\frac{ \partial W}{ \partial h} = 0$ получим:
$k(h - a) = \frac{ \mu_{0}I^{2} }{ 8 \pi } \left ( \frac{L^{2}}{h^{2}} + 1 \right )$.
Поскольку эффект невелик, то можно записать:
$k(h - a) \approx \frac{ \mu_{0} I^{2}}{8 \pi} \left ( \frac{L^{2}}{a^{2}} + 1 \right )$,
откуда удлинение пружины равно
$\Delta = h - a = \frac{ \mu_{0}I^{2}}{8 \pi k} \left ( \frac{L^{2}}{a^{2}} + 1 \right )$.
