Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16393
2024-03-16 
Небольшой теплоизолированный сосуд разделен на две равные части теплопроницаемой перегородкой. В каждой части находится углекислый газ в количестве $10^{-8}$ моль. Температура газа в одной части сосуда $28^{ \circ} С$, а во второй $27^{ \circ} С$. Пренебрегая теплоемкостью сосуда, определить, во сколько раз возрастает вероятность состояния при выравнивании температур. Определить изменение вероятности при переходе теплоты от менее нагретой части газа к более нагретой. Считать, что газ идеальный.
Решение:
Используем связь вероятности состояния с энтропией, тогда
$\frac{W_{2}}{W_{1}} = e^{ \frac{ \Delta S}{k} }$, (1)
где $k = 1,38 \cdot 10^{-23} Дж/К$ - коэффициент Больцмана, $\Delta S = S_{2} - S_{1}$ изменение энтропии, которое находим следующим образом:
$\Delta S = \frac{m}{ \mu} c_{V} \left ( \int_{T_{1}}^{T} \frac{dT}{T} + \int_{T_{2}}^{T} \frac{dT}{T} \right ) = \frac{m}{ \mu} c_{V} \left ( ln \frac{T}{T_{1}} + ln \frac{T}{T_{2}} \right )$. (2)
После выравнивания температур, общая температура станет
$T = \frac{T_{1} + T_{2}}{2}$,
откуда
$\frac{T}{T_{1}} = \frac{T_{1} + T_{2}}{2T_{1}} = 1 - \frac{T_{1} - T_{2}}{2T_{1}}, \frac{T}{T_{2}} = \frac{T_{1} + T_{2}}{2T_{2}} = 1 - \frac{T_{1} - T_{2}}{2T_{2}}$.
Учитывая, что
$\frac{T_{1} - T_{2}}{2T_{1}} \ll 1, \frac{T_{1} - T_{2}}{2T_{2}} \ll 1$,
и используя $ln (1 + x) \approx x$, можно записать:
$\Delta S = \frac{m}{ \mu} c_{V} \frac{T_{1} - T_{2}}{2} \left ( \frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}} \right )$. (3)
Заметим, что температуры двух половинок сосуда близки друг к другу по значению, тогда справедлива следующая запись:
$\Delta S = \frac{m}{ \mu} c_{V} \frac{(T_{1} - T_{2})^{2}}{2T_{1}T_{2}} \approx \frac{m}{ \mu} c_{V} \frac{1}{2T_{2}^{2}}$.
По условию задачи газ идеальный, тогда
$c_{V} = \frac{i}{2}R$,
где число степеней свободы $i$ для углекислого газа, считая его многоатомным, будет $i = 6$. Подставляя в (3), окончательно получим:
$\frac{ \Delta S}{k} = \frac{m}{ \mu} \frac{6}{2} R \frac{T_{1} - T_{2}}{2} \left ( \frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}} \right ) \frac{1}{k} = \frac{3 \nu R}{2k} (T_{1} - T_{2}) \left ( \frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}} \right ) \approx 10^{11}$.
Значит $\frac{W_{2}}{W_{1}} = e^{10^{11}}$. Практически всегда система переходит в состояние, при котором температуры газов будут равны. При переходе такого же количества теплоты от газа менее нагретого к газу более нагретому $\frac{W_{2}^{ \prime}}{W_{1}^{ \prime}} = \frac{1}{e^{10^{11}}} \approx 10^{-48}$. Такой переход невозможен. Однако при малых количествах теплоты перехода вероятность такого перехода возрастает.
Ответ: $\frac{W_{2}}{W_{1}} = e^{ \frac{3 \nu R}{2k} (T_{1} - T_{2}) \left ( \frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}} \right ) } = e^{10^{11}}$.
Небольшой теплоизолированный сосуд разделен на две равные части теплопроницаемой перегородкой. В каждой части находится углекислый газ в количестве $10^{-8}$ моль. Температура газа в одной части сосуда $28^{ \circ} С$, а во второй $27^{ \circ} С$. Пренебрегая теплоемкостью сосуда, определить, во сколько раз возрастает вероятность состояния при выравнивании температур. Определить изменение вероятности при переходе теплоты от менее нагретой части газа к более нагретой. Считать, что газ идеальный.
Решение:
Используем связь вероятности состояния с энтропией, тогда
$\frac{W_{2}}{W_{1}} = e^{ \frac{ \Delta S}{k} }$, (1)
где $k = 1,38 \cdot 10^{-23} Дж/К$ - коэффициент Больцмана, $\Delta S = S_{2} - S_{1}$ изменение энтропии, которое находим следующим образом:
$\Delta S = \frac{m}{ \mu} c_{V} \left ( \int_{T_{1}}^{T} \frac{dT}{T} + \int_{T_{2}}^{T} \frac{dT}{T} \right ) = \frac{m}{ \mu} c_{V} \left ( ln \frac{T}{T_{1}} + ln \frac{T}{T_{2}} \right )$. (2)
После выравнивания температур, общая температура станет
$T = \frac{T_{1} + T_{2}}{2}$,
откуда
$\frac{T}{T_{1}} = \frac{T_{1} + T_{2}}{2T_{1}} = 1 - \frac{T_{1} - T_{2}}{2T_{1}}, \frac{T}{T_{2}} = \frac{T_{1} + T_{2}}{2T_{2}} = 1 - \frac{T_{1} - T_{2}}{2T_{2}}$.
Учитывая, что
$\frac{T_{1} - T_{2}}{2T_{1}} \ll 1, \frac{T_{1} - T_{2}}{2T_{2}} \ll 1$,
и используя $ln (1 + x) \approx x$, можно записать:
$\Delta S = \frac{m}{ \mu} c_{V} \frac{T_{1} - T_{2}}{2} \left ( \frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}} \right )$. (3)
Заметим, что температуры двух половинок сосуда близки друг к другу по значению, тогда справедлива следующая запись:
$\Delta S = \frac{m}{ \mu} c_{V} \frac{(T_{1} - T_{2})^{2}}{2T_{1}T_{2}} \approx \frac{m}{ \mu} c_{V} \frac{1}{2T_{2}^{2}}$.
По условию задачи газ идеальный, тогда
$c_{V} = \frac{i}{2}R$,
где число степеней свободы $i$ для углекислого газа, считая его многоатомным, будет $i = 6$. Подставляя в (3), окончательно получим:
$\frac{ \Delta S}{k} = \frac{m}{ \mu} \frac{6}{2} R \frac{T_{1} - T_{2}}{2} \left ( \frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}} \right ) \frac{1}{k} = \frac{3 \nu R}{2k} (T_{1} - T_{2}) \left ( \frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}} \right ) \approx 10^{11}$.
Значит $\frac{W_{2}}{W_{1}} = e^{10^{11}}$. Практически всегда система переходит в состояние, при котором температуры газов будут равны. При переходе такого же количества теплоты от газа менее нагретого к газу более нагретому $\frac{W_{2}^{ \prime}}{W_{1}^{ \prime}} = \frac{1}{e^{10^{11}}} \approx 10^{-48}$. Такой переход невозможен. Однако при малых количествах теплоты перехода вероятность такого перехода возрастает.
Ответ: $\frac{W_{2}}{W_{1}} = e^{ \frac{3 \nu R}{2k} (T_{1} - T_{2}) \left ( \frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}} \right ) } = e^{10^{11}}$.
