ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2024-03-16   
На дне озера глубиной $h$ надувают воздухом шарик с совершенно эластичной оболочкой и отпускают без толчка. Определить скорость шарика в момент достижения поверхности, считая температуру воды одинаковой и равной $T$. Сопротивления не учитывать.


Решение:



Давление воды на глубине $(h - x)$ есть $p = p_{0} + \rho g(h - х)$, поэтому для объема шарика можно записать

$( p_{0} + \rho g(h - x))V = \frac{m}{ \mu} RT$,

откуда

$V = \frac{m}{ \mu} RT \frac{1}{ p_{0} + \rho g(h - x)}$.

С учетом этого выражения сила Архимеда имеет вид:

$F_{арх} = \rho gV = \frac{m}{ \mu} RT \frac{ \rho g}{p_{0} + \rho g (h - x)}$.

Тогда работу этой силы за время подъема шарика найдем как

$A_{арх} = \int_{0}^{h} F_{арх} dx = \frac{m}{ \mu} RT \int_{0}^{h} \frac{dx}{ \frac{p_{0}}{ \rho g} + h - x} = \frac{m}{ \mu} RT ln \frac{p_{0} + \rho gh}{p_{0}}$.

Используя закон сохранения энергии

$\frac{mv^{2}}{2} + mgh = A_{арх}$,

имеем

$\frac{v^{2}}{2} = \frac{1}{m} A_{арх} - gh = \frac{RT}{ \mu} ln \left ( 1 + \frac{ \rho gh}{p_{0}} \right ) - gh$,

откуда получаем ответ:

$v = \sqrt{ \frac{2RT}{ \mu} ln \left ( 1 + \frac{ \rho gh}{p_{0}} \right ) - 2gh}$.