Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16387
2024-03-16 
По шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом, с высоты $H$ скатывается однородный сплошной диск. Какое максимальное количество теплоты при этом может выделиться? Точки диска все время находятся в одной вертикальной плоскости.
Решение:
С одной стороны, тепло выделяется только при движении диска с проскальзыванием - если коэффициент трения достаточно велик, то тепло просто не будет выделяться. С другой стороны, при очень малом коэффициенте трения тепло тоже почти не выделяется. Тогда понятно, что максимальное количество теплоты выделится при некотором промежуточном значении коэффициента трения.
Для упрощения примем такие обозначения. Пусть масса диска равна $M$, а его радиус равен $R$. Тогда (см. рисунок)
$F = Mg \sin \alpha$,
$f = f_{тр} = \mu N = \mu Mg \cos \alpha$.
При этом ускорение центра диска равно
$a = \frac{F-f}{M}$,
а угловое ускорение составляет
$\epsilon = \frac{fR}{I} = \frac{fR}{ \frac{MR^{2}}{2}} = \frac{2f}{MR}$,
где $I = \frac{MR^{2}}{2}$ - момент инерции диска.
Запишем выражение для полной механической энергии диска внизу:
$W = \frac{Mv^{2}}{2} + \frac{I \omega^{2}}{2} = \frac{Ma^{2} \tau^{2}}{2} + \frac{I \epsilon^{2} \tau^{2}}{2} = \frac{a \tau^{2}}{2} \left ( Ma + \frac{I \epsilon^{2}}{a} \right ) = L \left ( F - L + \frac{2f^{2}}{F - f} \right ) = LF \left ( 1 - \frac{f}{F} + \frac{2f^{2}}{F(F - f)} \right ) = MgH \left ( 1 - x + \frac{2x^{2}}{1 - x} \right )$.
Посмотрим на полученное выражение. Множитель в скобках обращается в единицу при $x_{1} = \frac{f}{F} = 0$ и $x_{2} = \frac{1}{3}$, что соответствует нулевому значению $\mu$ (это $x_{1}$) и «критическому» значению $\mu$, при котором проскальзывание прекращается. В промежутке множитель в скобках меньше единицы - это означает, что часть начальной энергии диска, равной $MgH$, перешла в тепло. Нас интересует минимум выражения в скобках - он соответствует максимальному количеству выделившегося тепла.
Найти минимум можно несколькими способами (например - приравняв нулю производную по $x$). Легко видеть, что он достигается при
$x = 1 - \sqrt{ \frac{2}{3}} \approx 0,184$.
В этом случае множитель в скобках составляет примерно $0,899 \approx 0,9$. Это означает, что в тепло перейдет примерно десятая часть начальной потенциальной энергии диска. Точный ответ несколько более громоздкий.
Ответ: $Q = 0,1 MgH$.
По шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом, с высоты $H$ скатывается однородный сплошной диск. Какое максимальное количество теплоты при этом может выделиться? Точки диска все время находятся в одной вертикальной плоскости.
Решение:
С одной стороны, тепло выделяется только при движении диска с проскальзыванием - если коэффициент трения достаточно велик, то тепло просто не будет выделяться. С другой стороны, при очень малом коэффициенте трения тепло тоже почти не выделяется. Тогда понятно, что максимальное количество теплоты выделится при некотором промежуточном значении коэффициента трения.
Для упрощения примем такие обозначения. Пусть масса диска равна $M$, а его радиус равен $R$. Тогда (см. рисунок)
$F = Mg \sin \alpha$,
$f = f_{тр} = \mu N = \mu Mg \cos \alpha$.
При этом ускорение центра диска равно
$a = \frac{F-f}{M}$,
а угловое ускорение составляет
$\epsilon = \frac{fR}{I} = \frac{fR}{ \frac{MR^{2}}{2}} = \frac{2f}{MR}$,
где $I = \frac{MR^{2}}{2}$ - момент инерции диска.
Запишем выражение для полной механической энергии диска внизу:
$W = \frac{Mv^{2}}{2} + \frac{I \omega^{2}}{2} = \frac{Ma^{2} \tau^{2}}{2} + \frac{I \epsilon^{2} \tau^{2}}{2} = \frac{a \tau^{2}}{2} \left ( Ma + \frac{I \epsilon^{2}}{a} \right ) = L \left ( F - L + \frac{2f^{2}}{F - f} \right ) = LF \left ( 1 - \frac{f}{F} + \frac{2f^{2}}{F(F - f)} \right ) = MgH \left ( 1 - x + \frac{2x^{2}}{1 - x} \right )$.
Посмотрим на полученное выражение. Множитель в скобках обращается в единицу при $x_{1} = \frac{f}{F} = 0$ и $x_{2} = \frac{1}{3}$, что соответствует нулевому значению $\mu$ (это $x_{1}$) и «критическому» значению $\mu$, при котором проскальзывание прекращается. В промежутке множитель в скобках меньше единицы - это означает, что часть начальной энергии диска, равной $MgH$, перешла в тепло. Нас интересует минимум выражения в скобках - он соответствует максимальному количеству выделившегося тепла.
Найти минимум можно несколькими способами (например - приравняв нулю производную по $x$). Легко видеть, что он достигается при
$x = 1 - \sqrt{ \frac{2}{3}} \approx 0,184$.
В этом случае множитель в скобках составляет примерно $0,899 \approx 0,9$. Это означает, что в тепло перейдет примерно десятая часть начальной потенциальной энергии диска. Точный ответ несколько более громоздкий.
Ответ: $Q = 0,1 MgH$.
