ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2016-12-18   
На дифракционную решетку с периодом $d = 4 мкм$ нормально падает свет в диапазоне длин волн от $\lambda_{1} = 500 нм$ до $\lambda_{2} = 550 нм$. Будут ли спектры разных порядков перекрываться друг с другом?



Решение:


На рисунке изображены неперекрывающиеся спектры $k$ и $k + 1$ порядков. Видно, что условие того, что спектры не перекрываются, имеет вид:

$\phi_{k,2} \leq \phi_{k+1,1}$ (1)

или, что то же самое, для синусов:

$\sin \phi_{k,2} \leq \sin \phi_{k+1,1}$ (2)

Запишем формулу дифракционной решетки:

$d \sin \phi_{k,2} = k \lambda_{2}$, (3)
$d \sin \phi_{k+1,1} = (k+1) \lambda_{1}$. (4)

Из (2—4) получаем:

$k \leq \frac{ \lambda_{1}}{ \lambda_{2} - \lambda_{1}} = 10$. (5)

Максимальный порядок спектра ко определим из условия:

$\sin \phi_{k_{0}} = \frac{k_{0} \lambda}{d} \leq 1$, (6)

поскольку $\sin \phi \leq 1$. Из (6) получаем $k_{0} = \frac{d}{ \lambda} = 8$.

Таким образом, для всех возможных порядков спектров от 0 до 8 (5) условие выполняется и, следовательно, спектры не перекрываются.