Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16377
2024-03-16 
Сферический стеклянный аквариум заполнен водой и вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси. После того как оболочку мгновенно затормозили и отпустили, угловая скорость вращения установилась в 1,5 раз меньшей, чем была вначале. Какую часть массы аквариума составляет вода? Считать, что стекло имеет плотность в три раза большую, чем вода.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса и формулой для момента инерции шара в случае, когда ось вращения проходит через его центр. Так, момент инерции водяного «шара» радиусом $R$ и плотностью $\rho$ равен
$I_{1} = \frac{2}{5} mR^{2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3} \pi \rho R^{3} R^{2} = \frac{8}{15} \pi \rho R^{5}$.
Чтобы записать момент инерции стеклянной оболочки (обозначим внешний радиус $R_{2}$), нужно из выражения для момента инерции сплошного шара радиусом $R_{1}$ вычесть момент инерции «внутреннего» шара радиусом $R$:
$I_{2} = \frac{8}{15} \pi 3 \rho R_{1}^{5} - \frac{8}{15} \pi 3 \rho R^{5} = \frac{8}{5} \pi \rho (R_{1}^{5} - R^{5})$.
Общий момент инерции стеклянного аквариума и находящейся в нем воды равен сумме моментов инерции $I_{1}$ и $I_{2}$:
$I_{общ} = I_{1} + I_{2}$.
Теперь запишем закон сохранения момента импульса для замкнутой системы «аквариум-вода»:
$\omega_{0}I_{1} = \frac{2}{3} \omega_{0} (I_{1} + I_{2})$,
или
$I_{2} = \frac{1}{2I_{1}}$.
Отсюда находим соотношение между радиусами $R_{1}$ и $R$:
$\frac{8}{5} \pi \rho (R_{1}^{5} - R^{5}) = \frac{1}{2} \frac{8}{15} \pi \rho R^{5}$,
или
$\frac{R_{1}^{5}}{R^{5}} = \frac{7}{6}$
и отношение масс воды и аквариума с водой:
$\frac{m_{в}}{m_{общ}} = \frac{ \frac{4}{3} \pi \rho R^{3}}{ \frac{4}{3} \pi \rho R^{3} + \frac{4}{3} \pi 3 \rho (R_{1}^{3} - R^{3})} = \frac{1}{1 + 3 \left ( \frac{R_{1}^{3}}{R^{3}} - 1 \right )} \approx 0,8$.
Сферический стеклянный аквариум заполнен водой и вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси. После того как оболочку мгновенно затормозили и отпустили, угловая скорость вращения установилась в 1,5 раз меньшей, чем была вначале. Какую часть массы аквариума составляет вода? Считать, что стекло имеет плотность в три раза большую, чем вода.
Решение:
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса и формулой для момента инерции шара в случае, когда ось вращения проходит через его центр. Так, момент инерции водяного «шара» радиусом $R$ и плотностью $\rho$ равен
$I_{1} = \frac{2}{5} mR^{2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3} \pi \rho R^{3} R^{2} = \frac{8}{15} \pi \rho R^{5}$.
Чтобы записать момент инерции стеклянной оболочки (обозначим внешний радиус $R_{2}$), нужно из выражения для момента инерции сплошного шара радиусом $R_{1}$ вычесть момент инерции «внутреннего» шара радиусом $R$:
$I_{2} = \frac{8}{15} \pi 3 \rho R_{1}^{5} - \frac{8}{15} \pi 3 \rho R^{5} = \frac{8}{5} \pi \rho (R_{1}^{5} - R^{5})$.
Общий момент инерции стеклянного аквариума и находящейся в нем воды равен сумме моментов инерции $I_{1}$ и $I_{2}$:
$I_{общ} = I_{1} + I_{2}$.
Теперь запишем закон сохранения момента импульса для замкнутой системы «аквариум-вода»:
$\omega_{0}I_{1} = \frac{2}{3} \omega_{0} (I_{1} + I_{2})$,
или
$I_{2} = \frac{1}{2I_{1}}$.
Отсюда находим соотношение между радиусами $R_{1}$ и $R$:
$\frac{8}{5} \pi \rho (R_{1}^{5} - R^{5}) = \frac{1}{2} \frac{8}{15} \pi \rho R^{5}$,
или
$\frac{R_{1}^{5}}{R^{5}} = \frac{7}{6}$
и отношение масс воды и аквариума с водой:
$\frac{m_{в}}{m_{общ}} = \frac{ \frac{4}{3} \pi \rho R^{3}}{ \frac{4}{3} \pi \rho R^{3} + \frac{4}{3} \pi 3 \rho (R_{1}^{3} - R^{3})} = \frac{1}{1 + 3 \left ( \frac{R_{1}^{3}}{R^{3}} - 1 \right )} \approx 0,8$.
