ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2024-03-16   
Футболист бьет по мячу массой $m$, сообщая ему начальную скорость, равную $v_{1}$ и направленную под углом $\alpha$ к горизонту навстречу ветру, дующему вдоль поверхности земли. Описав некоторую траекторию, мяч вернулся в исходную точку со скоростью $v_{2}$. Под каким углом $\beta$ мяч упал на землю? Чему равна скорость $u$ ветра? Какое время $\tau$ мяч находился в полете? Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорости мяча относительно воздуха: $\vec{F}_{c} = - k \vec{v}_{отн}$, где коэффициент пропорциональности $k$ - известная величина.


Решение:


Уравнение движения мяча с учетом силы сопротивления запишем в виде

$m \vec{a} = - k( \vec{v} - \vec{u}) + m \vec{g}$ (1)

или в проекциях

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - \frac{k}{m} \frac{dx}{dt} - \frac{k}{m} u, \frac{ d^{2}y}{dt^{2}} = - \frac{k}{m} \frac{dy}{dt} - g$. (2)

Умножая на $dt$ и интегрируя

$\frac{dx}{dt} = - \frac{k}{m} x - \frac{k}{m} ut + C_{1}, \frac{dy}{dt} = - \frac{k}{m}y - gt + C_{2}$ (2)

В начальный момент времени ($t = 0$) координаты мяча возьмем $x_{0} = y_{0} = 0$, а скорость имеет проекции $v_{0x} = v_{1} \cos \alpha , v_{0y} = v_{1} \sin \alpha$, тогда константы интегрирования $C_{1} = v_{1} \cos \alpha, C_{2} = v_{1} \sin \alpha$:

$\frac{dx}{dt} = - \frac{k}{m} x - \frac{k}{m} ut + v_{1} \cos \alpha, \frac{dy}{dt} = - \frac{k}{m} y - gt + v_{1} \sin \alpha$. (4)

Рассмотрим первое уравнение системы (4). Для решения введем замену к к .

$\chi =- \frac{k}{m} x - \frac{k}{m} ut + v_{1} \cos \alpha$,

производная которой

$\frac{d \chi}{dt} = - \frac{k}{m} \frac{dx}{dt} - \frac{k}{m} u$.

Тогда уравнение относительно новой переменной имеет вид

$\frac{ d \chi}{dt} = - \frac{k}{m} \chi - \frac{k}{m} u$.

Решая методом разделения переменных, получим

$\chi + u = C_{3} e^{- \frac{kt}{m} }$.

Переходя к старой переменной $x$,

$x = \frac{v_{1} \cos \alpha}{ \frac{k}{m}} + \frac{u}{ \frac{k}{m}} - ut - \frac{C_{3}}{ \frac{k}{m}} e^{ - \frac{kt}{m} }$.

С учетом начальных условий ($t = 0, x_{0} = 0$) константа $C_{3}$ равна

$C_{3} = v_{1} \cos \alpha + u$.

Окончательно получаем

$x = \frac{m}{k} (v_{1} \cos \alpha + u) \left (1 + e^{ - \frac{kt}{m}} \right ) - ut$. (5)

Аналогично решаем второе уравнение системы (4). Замена

$\eta = - \frac{k}{m} y - gt + v_{1} \sin \alpha$

приводит к уравнению

$\frac{d \eta}{dt} = - \frac{k}{m} \eta - g$,

решение которого

$\eta + \frac{g}{ \frac{k}{m}} = C_{4} e^{- \frac{kt}{m} }$.

Тогда получим

$y = \frac{v_{1} \sin \alpha}{ \frac{k}{m}} + \frac{g}{ \left ( \frac{k}{m} \right )^{2}} - \frac{gt}{ \frac{k}{m}} - \frac{C_{4}}{ \frac{k}{m}} e^{- \frac{kt}{m} }$.

При $t = 0 \: y_{0} =0, C_{4} = \left ( v_{1} \sin \alpha + \frac{mg}{k} \right ) \frac{m}{k}$ и

$y = \frac{m}{k} \left ( v_{1} \sin \alpha + \frac{mg}{k} \right ) (1 - e^{ - \frac{kt}{m} }) - \frac{mgt}{k}$. (6)

Уравнения (5), (6) описывают движение мяча. В момент падения координаты $x = 0, y = 0$, тогда получим

$ut = \frac{m}{k} (v_{1} \cos \alpha + u) \left ( 1 - e^{ - \frac{kt}{m}} \right ), gt = \left ( v_{1} \sin \alpha + \frac{mg}{k} \right ) \left ( 1 - e^{ - \frac{kt}{m} } \right )$.

Исключая неизвестное время, получим скорость ветра

$u = \frac{mg ctg \alpha}{k}$. (7)

Для определения угла падения $\beta$ и времени полета, лучше использовать уравнения (4). С учетом того, что в момент падения $v_{x} = \frac{dx}{dt} = - v_{2} \cos \beta, v_{y} = \frac{dy}{dt} = - v_{2} \sin \beta, x = y = 0$, имеем

$v_{2} \cos \beta + v_{1} \cos \alpha = g \frac{ \cos \alpha}{ \sin \alpha} \tau, v_{2} \sin \beta + v_{1} \sin \alpha = g \tau$. (8)

Исключая неизвестное время полета $\tau$,

$v_{2}( \cos \beta \sin \alpha - \sin \beta \cos \alpha ) = v_{1} ( \sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha )$,

откуда

$\beta = \alpha$. (9)

Теперь с использованием (9) находим время полета

$\tau = \frac{(v_{1} +v_{2}) \sin \alpha}{g}$.