Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16372
2024-03-16 
Плоская световая волна падает на поверхность шара, размеры которого велики по сравнению с длиной световой волны. Определите силу светового давления на шар через функцию плотности падающего излучения. Рассмотреть три случая поверхности шара: 1) абсолютно черная; 2) абсолютно зеркальная; 3) абсолютно матовая (удовлетворяет закону Ламберта).
Решение:
Так как размеры шара велики по сравнению с длиной световой волны, то при решении задачи можно ограничиться приближением геометрической оптики и не учитывать дифракцию. Чтобы объединить оба первых случая, допустим, что коэффициент отражения поверхности шара равен $r$ и не зависит от угла падения $\phi$. Найдем силу, действующую на единицу поверхности шара. Если $N$ - число фотонов падающей волны в единице объема, то импульс фотонов, упавших за 1 с на площадь $dS$, равен
$\frac{Nh \nu}{c} cdS \cos \phi$.
Так как $Nh \nu = u$, то этот импульс равен
$\vec{p}_{1} = u dS \cos \phi \cdot \vec{i}$,
где $\vec{I}$ - единичный вектор, проведенный в направлении падающего луча. Импульс отраженных за 1 с фотонов равен
$\vec{p}_{2} = rudS \cos \phi \cdot \vec{i}^{ \prime}$,
где $\vec{i}^{ \prime}$ - единичный вектор в направлении отраженного луча.
Таким образом, изменение импульса световой волны за 1 с вследствие отражения равно
$\vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} = - udS ( \vec{i} - r \vec{i}^{ \prime} ) \cos \phi$.
В силу закона сохранения импульса изменение импульса шара будет таким же по величине, но противоположным по направлению. Поэтому сила $\vec{F}$, действующая на площадь $dS$ со стороны излучения
$\vec{F} = \vec{p}_{1} - \vec{p}_{2} = udS( \vec{i} - r \vec{i}^{ \prime}) \cos \phi$,
а сила $\vec{f}$, действующая на единицу поверхности шара
$\vec{f} = u ( \vec{i} - r \vec{i}^{ \prime}) \cos \phi$.
Направим ось $x$ параллельно падающим лучам (см. рис.). В силу симметрии результирующая сила светового давления на шар должна быть направлена вдоль оси $x$ и равна $F = \int f_{x} dS$, а интегрирование ведется по освещенной половине этой поверхности. Имеем:
$f_{x} = u \cos \phi - ru \cos \phi \cos ( \pi - 2 \phi ) = (1 - r ) u \cos \phi + 2ru \cos^{3} \phi$.
Далее, $dS = 2 \pi a^{2} \sin \phi \cdot d \phi$, где $a$ - радиус шара. Интегрирование дает
$F = \pi a^{2}u$.
Таким образом, сила $F$ не зависит от коэффициента отражения и одинакова для абсолютно зеркального и абсолютно черного шаров.
Если отражающая поверхность идеально матовая, то она отражает падающее на нее световое излучение целиком, причем после отражения получаются лучи всевозможных направлений, и все эти направления равновероятны. Вероятность того, что направление распространения отразившегося фотона составляет с нормалью к $dS$ угол между $\theta$ и $\theta + d \theta$, равна
$\frac{1}{2 \pi} d \Omega = \sin \theta \cdot d \theta$,
так как соответствующий элемент телесного угла $d \Omega = 2 \pi \sin \theta \cdot d \theta$. Результирующий импульс всех отразившихся фотонов перпендикулярен к $dS$. Среднее значение проекции импульса одного отраженного фотона на нормаль к $dS$ равно
$\int_{0}^{ \pi /2} \frac{h \nu}{c} \cos \theta \sin \theta \cdot d \theta = \frac{1}{2} \frac{h \nu}{c}$.
Следовательно, для результирующего импульса всех отразившихся фотонов мы получаем
$\vec{p}_{2} = NcdS \cos \phi \cdot \frac{1}{2} \frac{h \nu}{c} \vec{n} = \frac{1}{2} udS \cos \phi \cdot \vec{n}$,
где $\vec{n}$ - единичный вектор нормали к поверхности. Сила же $\vec{f}$, действующая на единицу площади
$\vec{f} = \frac{ \vec{p}_{1} - \vec{p}_{2}}{dS} = u \left ( \vec{i} - \frac{1}{2} \vec{n} \right ) \cos \phi$.
Аналогично интегрируя, получим
$F = \frac{4}{3} \pi a^{2}u$.
Плоская световая волна падает на поверхность шара, размеры которого велики по сравнению с длиной световой волны. Определите силу светового давления на шар через функцию плотности падающего излучения. Рассмотреть три случая поверхности шара: 1) абсолютно черная; 2) абсолютно зеркальная; 3) абсолютно матовая (удовлетворяет закону Ламберта).
Решение:
Так как размеры шара велики по сравнению с длиной световой волны, то при решении задачи можно ограничиться приближением геометрической оптики и не учитывать дифракцию. Чтобы объединить оба первых случая, допустим, что коэффициент отражения поверхности шара равен $r$ и не зависит от угла падения $\phi$. Найдем силу, действующую на единицу поверхности шара. Если $N$ - число фотонов падающей волны в единице объема, то импульс фотонов, упавших за 1 с на площадь $dS$, равен
$\frac{Nh \nu}{c} cdS \cos \phi$.
Так как $Nh \nu = u$, то этот импульс равен
$\vec{p}_{1} = u dS \cos \phi \cdot \vec{i}$,
где $\vec{I}$ - единичный вектор, проведенный в направлении падающего луча. Импульс отраженных за 1 с фотонов равен
$\vec{p}_{2} = rudS \cos \phi \cdot \vec{i}^{ \prime}$,
где $\vec{i}^{ \prime}$ - единичный вектор в направлении отраженного луча.
Таким образом, изменение импульса световой волны за 1 с вследствие отражения равно
$\vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} = - udS ( \vec{i} - r \vec{i}^{ \prime} ) \cos \phi$.
В силу закона сохранения импульса изменение импульса шара будет таким же по величине, но противоположным по направлению. Поэтому сила $\vec{F}$, действующая на площадь $dS$ со стороны излучения
$\vec{F} = \vec{p}_{1} - \vec{p}_{2} = udS( \vec{i} - r \vec{i}^{ \prime}) \cos \phi$,
а сила $\vec{f}$, действующая на единицу поверхности шара
$\vec{f} = u ( \vec{i} - r \vec{i}^{ \prime}) \cos \phi$.
Направим ось $x$ параллельно падающим лучам (см. рис.). В силу симметрии результирующая сила светового давления на шар должна быть направлена вдоль оси $x$ и равна $F = \int f_{x} dS$, а интегрирование ведется по освещенной половине этой поверхности. Имеем:
$f_{x} = u \cos \phi - ru \cos \phi \cos ( \pi - 2 \phi ) = (1 - r ) u \cos \phi + 2ru \cos^{3} \phi$.
Далее, $dS = 2 \pi a^{2} \sin \phi \cdot d \phi$, где $a$ - радиус шара. Интегрирование дает
$F = \pi a^{2}u$.
Таким образом, сила $F$ не зависит от коэффициента отражения и одинакова для абсолютно зеркального и абсолютно черного шаров.
Если отражающая поверхность идеально матовая, то она отражает падающее на нее световое излучение целиком, причем после отражения получаются лучи всевозможных направлений, и все эти направления равновероятны. Вероятность того, что направление распространения отразившегося фотона составляет с нормалью к $dS$ угол между $\theta$ и $\theta + d \theta$, равна
$\frac{1}{2 \pi} d \Omega = \sin \theta \cdot d \theta$,
так как соответствующий элемент телесного угла $d \Omega = 2 \pi \sin \theta \cdot d \theta$. Результирующий импульс всех отразившихся фотонов перпендикулярен к $dS$. Среднее значение проекции импульса одного отраженного фотона на нормаль к $dS$ равно
$\int_{0}^{ \pi /2} \frac{h \nu}{c} \cos \theta \sin \theta \cdot d \theta = \frac{1}{2} \frac{h \nu}{c}$.
Следовательно, для результирующего импульса всех отразившихся фотонов мы получаем
$\vec{p}_{2} = NcdS \cos \phi \cdot \frac{1}{2} \frac{h \nu}{c} \vec{n} = \frac{1}{2} udS \cos \phi \cdot \vec{n}$,
где $\vec{n}$ - единичный вектор нормали к поверхности. Сила же $\vec{f}$, действующая на единицу площади
$\vec{f} = \frac{ \vec{p}_{1} - \vec{p}_{2}}{dS} = u \left ( \vec{i} - \frac{1}{2} \vec{n} \right ) \cos \phi$.
Аналогично интегрируя, получим
$F = \frac{4}{3} \pi a^{2}u$.
