Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16370
2024-03-16 
Внутри плоского конденсатора объемом $V = 20 см^{3}$ находится пластина из стекла ($\epsilon = 5$), целиком заполняющая пространство между пластинами конденсатора. Пластины конденсатора присоединены к источнику напряжения, при этом поверхностная плотность связанных зарядов на диэлектрике $\sigma_{св} = 8,35 мкКл/м^{2}$. Как изменится энергия конденсатора, если удалить стеклянную пластину? Решить задачу в двух случаях: 1) конденсатор все время присоединен к источнику напряжения; 2) конденсатор был первоначально присоединен к источнику напряжения, а затем отключен, и только после этого пластина была удалена. Найти также работу, которую нужно совершить против сил электрического поля, чтобы удалить пластину в том и другом случае.
Решение:
1 случай. Удаление диэлектрика без отключения от источника напряжения: $U_{1} = U_{2} = U = const$.
Пусть $E = \frac{U}{d}$ - напряженность электрического поля между обкладками, $U$ - разность потенциалов, $d$ - расстояние между обкладками. С учетом этого поверхностная плотность связанных зарядов:
$\sigma_{св} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} \epsilon EV = \frac{1}{2} \epsilon_{0} \epsilon V \left ( \frac{U}{d} \right )$.
Выражение для потенциальной энергии конденсатора с диэлектриком между пластинами и без диэлектрика будет соответственно:
$W_{1} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} \epsilon V \left ( \frac{U}{d} \right )^{2}$ и $W_{1} = \frac{1}{2} \epsilon_{0}V \left ( \frac{U}{d} \right )^{2}$.
Тогда изменение энергии
$\Delta W = W_{2} - W_{1} = \frac{1}{2} V \left ( \frac{U}{d} \right ) (1 - \epsilon )$.
С учетом величины $\sigma_{св}$ имеем:
$\Delta W = \frac{1}{2} \frac{ \sigma_{св}^{2}}{ \epsilon(1 - \epsilon )} = -19,7 мкДж$
Значит, энергия конденсатора при удалении диэлектрика уменьшается, и работа против сил электрического поля отрицательна:
$A = -19,7 мкДж$.
2 случай. Удаление диэлектрика после отключения конденсатора от источника напряжения: $q = const$.
Связь между напряжениями на конденсаторе после удаления диэлектрика и до удаления будет иметь вид:
$U_{2} = \epsilon U_{1}$.
Потенциальная энергия конденсатора с диэлектриком и без него:
$W_{1} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} \epsilon V \left ( \frac{U_{1}}{d} \right )^{2}$ и $W_{1} = \frac{1}{2} \epsilon_{0}V \left ( \frac{U_{2}}{d} \right )^{2} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} \epsilon^{2} V \left ( \frac{U_{1}}{d} \right )^{2}$,
откуда изменение энергии:
$\Delta W = W_{2} - W_{1} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} \epsilon V \left ( \frac{U_{1}}{d} \right )^{2} ( \epsilon - 1)$.
С учетом $\sigma_{св} = \frac{ \epsilon_{0}( \epsilon -1)U_{1}}{2}$ получим:
$\Delta W = \frac{ \epsilon V \sigma_{св}^{2}}{2 \epsilon_{0}( \epsilon - 1)} = 98 мкДж$.
Значит, энергия конденсатора после удаления диэлектрика увеличивается, или работа сил поля отрицательна, а работа против сил электрического поля положительна:
$A = 98 мкДж$.
Внутри плоского конденсатора объемом $V = 20 см^{3}$ находится пластина из стекла ($\epsilon = 5$), целиком заполняющая пространство между пластинами конденсатора. Пластины конденсатора присоединены к источнику напряжения, при этом поверхностная плотность связанных зарядов на диэлектрике $\sigma_{св} = 8,35 мкКл/м^{2}$. Как изменится энергия конденсатора, если удалить стеклянную пластину? Решить задачу в двух случаях: 1) конденсатор все время присоединен к источнику напряжения; 2) конденсатор был первоначально присоединен к источнику напряжения, а затем отключен, и только после этого пластина была удалена. Найти также работу, которую нужно совершить против сил электрического поля, чтобы удалить пластину в том и другом случае.
Решение:
1 случай. Удаление диэлектрика без отключения от источника напряжения: $U_{1} = U_{2} = U = const$.
Пусть $E = \frac{U}{d}$ - напряженность электрического поля между обкладками, $U$ - разность потенциалов, $d$ - расстояние между обкладками. С учетом этого поверхностная плотность связанных зарядов:
$\sigma_{св} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} \epsilon EV = \frac{1}{2} \epsilon_{0} \epsilon V \left ( \frac{U}{d} \right )$.
Выражение для потенциальной энергии конденсатора с диэлектриком между пластинами и без диэлектрика будет соответственно:
$W_{1} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} \epsilon V \left ( \frac{U}{d} \right )^{2}$ и $W_{1} = \frac{1}{2} \epsilon_{0}V \left ( \frac{U}{d} \right )^{2}$.
Тогда изменение энергии
$\Delta W = W_{2} - W_{1} = \frac{1}{2} V \left ( \frac{U}{d} \right ) (1 - \epsilon )$.
С учетом величины $\sigma_{св}$ имеем:
$\Delta W = \frac{1}{2} \frac{ \sigma_{св}^{2}}{ \epsilon(1 - \epsilon )} = -19,7 мкДж$
Значит, энергия конденсатора при удалении диэлектрика уменьшается, и работа против сил электрического поля отрицательна:
$A = -19,7 мкДж$.
2 случай. Удаление диэлектрика после отключения конденсатора от источника напряжения: $q = const$.
Связь между напряжениями на конденсаторе после удаления диэлектрика и до удаления будет иметь вид:
$U_{2} = \epsilon U_{1}$.
Потенциальная энергия конденсатора с диэлектриком и без него:
$W_{1} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} \epsilon V \left ( \frac{U_{1}}{d} \right )^{2}$ и $W_{1} = \frac{1}{2} \epsilon_{0}V \left ( \frac{U_{2}}{d} \right )^{2} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} \epsilon^{2} V \left ( \frac{U_{1}}{d} \right )^{2}$,
откуда изменение энергии:
$\Delta W = W_{2} - W_{1} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} \epsilon V \left ( \frac{U_{1}}{d} \right )^{2} ( \epsilon - 1)$.
С учетом $\sigma_{св} = \frac{ \epsilon_{0}( \epsilon -1)U_{1}}{2}$ получим:
$\Delta W = \frac{ \epsilon V \sigma_{св}^{2}}{2 \epsilon_{0}( \epsilon - 1)} = 98 мкДж$.
Значит, энергия конденсатора после удаления диэлектрика увеличивается, или работа сил поля отрицательна, а работа против сил электрического поля положительна:
$A = 98 мкДж$.
