Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16366
2024-03-16 
Два тонких стержня массой $m$ и длиной $l$ каждый, жестко скрепленные под углом $90^{ \circ}$, лежат на гладком горизонтальном столе. Точка соединения стержней прикреплена к пружине жесткостью $k$ (рис.). Конструкция может вращаться вокруг вертикальной оси $A$, проходящей через конец одного из стержней. В свободный торец другого стержня ударяется и прилипает к нему маленький шарик массой $m$, двигавшийся со скоростью $v$, направленной вдоль этого стержня и пружины. Определите угловую амплитуду $\phi_{0}$ и период $T$ возникающих малых колебаний.
Решение:
По второму закону Ньютона:
$F_{max} = ma_{max}$,
где $F$ - сила упругости.
Используя связь между амплитудой ускорения и скорости
$a_{max} = v_{max} \omega_{0}$,
получим
$kx_{max} = mv \omega_{0}$,
откуда:
$x_{max} = \frac{mv \omega_{0}}{k}$ или $\phi_{0} = \frac{x_{max}}{l} = \frac{mv \omega_{0}}{kl}$. (1)
Здесь учтено, что в момент удара скорость точки соединения стержней равна скорости шарика, и в этом положении, положении равновесия, она максимальна, а также малость угла отклонения $\sin \phi_{0} \approx \phi_{0}$.
Запишем основное уравнение динамики вращательного движения:
$I \ddot{ \phi} = - lF_{x} \sin(90^{ \circ} + \phi)$,
где сила упругости:
$F_{x} = kx = kl \sin \phi \approx kl \phi$.
Отсюда получаем уравнение гармонических колебаний системы:
$\ddot{ \phi} + k \frac{l^{2}}{I} \phi = 0$.
Здесь в качестве циклической частоты служит выражение:
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{kl^{2}}{I}}$. (2)
Найдем момент инерции системы относительно оси, проходящей через точку $A$. Он равен алгебраической сумме моментов инерции двух стержней ($AB$ и $BD$) и момента инерции шарика (точка $B$) относительно $A$:
$I = I_{AB} + I_{BD} + I_{D}$.
Величины $I_{AB}$ и $I_{BD}$ определим по теореме Гюйгенса-Штейнера, используя момент инерции относительно оси, проходящей через центр стержня:
$I_{AB} = \frac{1}{12} ml^{2} + m \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} = \frac{1}{3} ml^{2}$,
$I_{BD} = \frac{1}{12} ml^{2} + mr_{AC}^{2} = \frac{1}{12} ml^{2} + m \left ( l^{2} + \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} \right ) = \frac{4}{3} ml^{2}$,
$I_{D} = mr_{AD}^{2} = m \cdot ( \sqrt{2}l )^{2}$.
Откуда:
$I = \frac{1}{3} ml^{2} + \frac{4}{3}ml^{2} + 2ml^{2} = \frac{11}{3}ml^{2}$. (3)
Используя (1), (2) и (3), получаем ответ:
$\phi_{0} = \frac{v}{l} \sqrt{ \frac{3m}{11k} }, T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{11m}{3k} }$.
Два тонких стержня массой $m$ и длиной $l$ каждый, жестко скрепленные под углом $90^{ \circ}$, лежат на гладком горизонтальном столе. Точка соединения стержней прикреплена к пружине жесткостью $k$ (рис.). Конструкция может вращаться вокруг вертикальной оси $A$, проходящей через конец одного из стержней. В свободный торец другого стержня ударяется и прилипает к нему маленький шарик массой $m$, двигавшийся со скоростью $v$, направленной вдоль этого стержня и пружины. Определите угловую амплитуду $\phi_{0}$ и период $T$ возникающих малых колебаний.
Решение:
По второму закону Ньютона:
$F_{max} = ma_{max}$,
где $F$ - сила упругости.
Используя связь между амплитудой ускорения и скорости
$a_{max} = v_{max} \omega_{0}$,
получим
$kx_{max} = mv \omega_{0}$,
откуда:
$x_{max} = \frac{mv \omega_{0}}{k}$ или $\phi_{0} = \frac{x_{max}}{l} = \frac{mv \omega_{0}}{kl}$. (1)
Здесь учтено, что в момент удара скорость точки соединения стержней равна скорости шарика, и в этом положении, положении равновесия, она максимальна, а также малость угла отклонения $\sin \phi_{0} \approx \phi_{0}$.
Запишем основное уравнение динамики вращательного движения:
$I \ddot{ \phi} = - lF_{x} \sin(90^{ \circ} + \phi)$,
где сила упругости:
$F_{x} = kx = kl \sin \phi \approx kl \phi$.
Отсюда получаем уравнение гармонических колебаний системы:
$\ddot{ \phi} + k \frac{l^{2}}{I} \phi = 0$.
Здесь в качестве циклической частоты служит выражение:
$\omega_{0} = \sqrt{ \frac{kl^{2}}{I}}$. (2)
Найдем момент инерции системы относительно оси, проходящей через точку $A$. Он равен алгебраической сумме моментов инерции двух стержней ($AB$ и $BD$) и момента инерции шарика (точка $B$) относительно $A$:
$I = I_{AB} + I_{BD} + I_{D}$.
Величины $I_{AB}$ и $I_{BD}$ определим по теореме Гюйгенса-Штейнера, используя момент инерции относительно оси, проходящей через центр стержня:
$I_{AB} = \frac{1}{12} ml^{2} + m \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} = \frac{1}{3} ml^{2}$,
$I_{BD} = \frac{1}{12} ml^{2} + mr_{AC}^{2} = \frac{1}{12} ml^{2} + m \left ( l^{2} + \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} \right ) = \frac{4}{3} ml^{2}$,
$I_{D} = mr_{AD}^{2} = m \cdot ( \sqrt{2}l )^{2}$.
Откуда:
$I = \frac{1}{3} ml^{2} + \frac{4}{3}ml^{2} + 2ml^{2} = \frac{11}{3}ml^{2}$. (3)
Используя (1), (2) и (3), получаем ответ:
$\phi_{0} = \frac{v}{l} \sqrt{ \frac{3m}{11k} }, T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0}} = 2 \pi \sqrt{ \frac{11m}{3k} }$.
