Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16365
2024-03-16 
Предположим, что между Калининградской и Московской областями прорыт прямолинейный железнодорожный тоннель длиной $l = 1000 км$. Вагон ставят на рельсы в начале тоннеля в Московской области и отпускают без начальной скорости. 1) Через какое время вагон достигнет Калининградской области? 2) Найдите максимальную скорость вагона. Землю считать шаром радиуса $R = 6400 км$ с одинаковой плотностью по всему объему. Вращение Земли, сопротивление воздуха и все виды трения при движении не учитывать.
Решение:
Пусть тело массой $m$ движется по тоннелю в виде хорды $KL$, изображенному на рисунке. В некоторый момент времени это тело имеет координату $x$. В этот момент со стороны Земли на него действует сила тяжести, равная
$F = \frac{GmM \cdot \frac{4 \pi r^{3}}{3}}{r^{2} \cdot \frac{4 \pi R^{3}}{3}} = \frac{GmMr}{R^{3}}$,
где $M$ - масса Земли, $R$ - радиус Земли, а $r$ - радиус окружности, проходящей через тело массой $m$. Проекция этой силы на ось $x$ равна
$F_{x} = F \cos \alpha = F \frac{x}{r} = \frac{GmMx}{R^{3}} = mg \frac{x}{R}$,
где $g$ - ускорение свободного падения на поверхности Земли. Теперь мы можем записать уравнение движения нашего тела:
$m \ddot{x} = - mg \frac{x}{R}$ или $\ddot{x} + \frac{g}{R} x = 0$.
Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{g}{R}}$. Следовательно, наш вагон достигнет Калининградской области через время, равное половине периода колебаний ($T = \frac{2 \pi}{ \omega}$):
$\Delta T = \pi \sqrt{ \frac{R}{g}} \approx 42 мин$.
Для ответа на второй вопрос будем искать решение уравнения гармонических колебаний в виде:
$x(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$,
где $A$ и $B$ - константы. Используя начальные условия: $x(0) = \frac{l}{2}$ и $\dot{x}(0) = 0$, найдем: $B = \frac{l}{2}$ и $A = 0$. Окончательно получим:
$x(t) = \frac{l}{2} \cos \omega t$.
Скорость вагона будет изменяться со временем по закону
$v(t) = \dot{x}(t) = - \frac{l \omega}{2} \sin \omega t$.
Отсюда находим абсолютную величину максимальной скорости вагона:
$v_{m} = \dot{x}_{m} = \frac{l \omega}{2} = \frac{l}{2} \sqrt{ \frac{g}{R}} \approx 600 м/с$.
Предположим, что между Калининградской и Московской областями прорыт прямолинейный железнодорожный тоннель длиной $l = 1000 км$. Вагон ставят на рельсы в начале тоннеля в Московской области и отпускают без начальной скорости. 1) Через какое время вагон достигнет Калининградской области? 2) Найдите максимальную скорость вагона. Землю считать шаром радиуса $R = 6400 км$ с одинаковой плотностью по всему объему. Вращение Земли, сопротивление воздуха и все виды трения при движении не учитывать.
Решение:
Пусть тело массой $m$ движется по тоннелю в виде хорды $KL$, изображенному на рисунке. В некоторый момент времени это тело имеет координату $x$. В этот момент со стороны Земли на него действует сила тяжести, равная
$F = \frac{GmM \cdot \frac{4 \pi r^{3}}{3}}{r^{2} \cdot \frac{4 \pi R^{3}}{3}} = \frac{GmMr}{R^{3}}$,
где $M$ - масса Земли, $R$ - радиус Земли, а $r$ - радиус окружности, проходящей через тело массой $m$. Проекция этой силы на ось $x$ равна
$F_{x} = F \cos \alpha = F \frac{x}{r} = \frac{GmMx}{R^{3}} = mg \frac{x}{R}$,
где $g$ - ускорение свободного падения на поверхности Земли. Теперь мы можем записать уравнение движения нашего тела:
$m \ddot{x} = - mg \frac{x}{R}$ или $\ddot{x} + \frac{g}{R} x = 0$.
Это уравнение описывает гармонические колебания с частотой $\omega = \sqrt{ \frac{g}{R}}$. Следовательно, наш вагон достигнет Калининградской области через время, равное половине периода колебаний ($T = \frac{2 \pi}{ \omega}$):
$\Delta T = \pi \sqrt{ \frac{R}{g}} \approx 42 мин$.
Для ответа на второй вопрос будем искать решение уравнения гармонических колебаний в виде:
$x(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$,
где $A$ и $B$ - константы. Используя начальные условия: $x(0) = \frac{l}{2}$ и $\dot{x}(0) = 0$, найдем: $B = \frac{l}{2}$ и $A = 0$. Окончательно получим:
$x(t) = \frac{l}{2} \cos \omega t$.
Скорость вагона будет изменяться со временем по закону
$v(t) = \dot{x}(t) = - \frac{l \omega}{2} \sin \omega t$.
Отсюда находим абсолютную величину максимальной скорости вагона:
$v_{m} = \dot{x}_{m} = \frac{l \omega}{2} = \frac{l}{2} \sqrt{ \frac{g}{R}} \approx 600 м/с$.
