ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2024-03-16   
Шарик массой $m$ подвешен на идеальной пружине жесткостью $k$ и начальной длиной $l_{0}$ над центром платформы центробежной машины. Затем шарик начинает вращаться вместе с машиной с угловой скоростью $\omega$. Какой угол $\alpha$ образует при этом пружина с вертикалью.



Решение:


Пусть $T$ - натяжение пружины. Тогда $T = k(l - l_{0})$, откуда

$l = l_{0} + \frac{T}{k}$. (1)

С учетом того, что на шарик действует только центростремительное ускорение, второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси будет иметь вид:

$T \cos \alpha = mg$, (2)
$T \sin \alpha = m \omega^{2}r$,

где $r = l \sin \alpha$. Выражая $T = \frac{mg}{ \cos \alpha}$ а из первого уравнения системы (1) и подставляя во второе с учетом (1), получим:

$mg \left ( 1 - \frac{m \omega^{2}}{k} \right ) = m \omega^{2} l_{0} \cos \alpha$,

или

$\cos \alpha = \frac{ \Omega_{1}^{2}}{ \omega^{2}} \left ( 1 - \frac{ \omega^{2}}{ \Omega_{2}^{2}} \right )$,

где $\Omega_{1}^{2} = \frac{g}{l_{0}}, \Omega_{2}^{2} = \frac{k}{m}$. Это справедливо, если

$\frac{ \Omega_{1} \Omega_{2}}{ \sqrt{ \Omega_{1}^{2} + \Omega_{2}^{2}}} < \omega < \Omega_{2}$.

Если $\omega < \frac{ \Omega_{1}\Omega_{2} }{ \sqrt{ \Omega_{1}^{2} + \Omega_{2}^{2}}}$, то $\alpha = 0$; при $\omega \rightarrow \Omega_{2}, l \rightarrow \infty$, т.е. пружина обрывается.

Таким образом, получим ответ:

$\alpha = 0$, если $\omega^{2} < \frac{kg}{ml_{0} \left ( \frac{g}{l_{0}} + \frac{k}{m} \right )}$,

иначе $\cos \alpha = g \frac{k - m \omega^{2}}{ \omega^{2}kl_{0}}$ ($\omega < \sqrt{ \frac{k}{m}}$ ).