Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16359
2024-03-16 
Внутренняя обкладка цилиндрического конденсатора радиусом $R_{2}$ имеет потенциал $\phi_{0}$. Внешняя обкладка радиусом заземлена. Между обкладками конденсатора имеется заряд с постоянной объемной плотностью $\rho$. Найти распределение потенциала $\phi$ между обкладками конденсатора.
Решение:
По теореме Гаусса для кольцевого слоя радиусом $r$ толщиной $dr$
$E \cdot 2 \pi r - \left ( E - \frac{dE}{dr} dr \right ) 2 \pi (r - dr) = 4 \pi \rho \cdot 2 \pi r dt$,
где $E$ - напряженность поля. Отсюда:
$\frac{dE}{dr} + \frac{1}{r} E = 4 \pi \rho$,
или для потенциала
$\frac{d^{2} \phi}{dr^{2}} + \frac{1}{r} \frac{d \phi}{dr} = - 4 \pi \rho$.
Частное решение этого уравнения $\phi_{1} = - \pi \rho r^{2}$. Решение соответствующего однородного уравнения $\frac{d^{2} \phi}{dr^{2}} + \frac{1}{r} \frac{d \phi}{dr} = 0$ имеет вид $\phi_{2} = C ln r + C_{1}$. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения
$\phi = \phi_{1} + \phi_{2} = C ln r + C_{1} - \pi \rho r^{2}$.
Подставляя сюда заданные в условии задачи значения потенциала, находим $C$ и $C_{1}$ и получаем ответ (потенциал в точке на расстоянии $r$ от оси цилиндров):
$\phi = \frac{ \phi_{0} + \pi \rho (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})}{ln \frac{R_{2}}{R_{1}}} ln \frac{r}{R_{1}} - \pi \rho (r^{2} - R_{1}^{2})$.
Внутренняя обкладка цилиндрического конденсатора радиусом $R_{2}$ имеет потенциал $\phi_{0}$. Внешняя обкладка радиусом заземлена. Между обкладками конденсатора имеется заряд с постоянной объемной плотностью $\rho$. Найти распределение потенциала $\phi$ между обкладками конденсатора.
Решение:
По теореме Гаусса для кольцевого слоя радиусом $r$ толщиной $dr$
$E \cdot 2 \pi r - \left ( E - \frac{dE}{dr} dr \right ) 2 \pi (r - dr) = 4 \pi \rho \cdot 2 \pi r dt$,
где $E$ - напряженность поля. Отсюда:
$\frac{dE}{dr} + \frac{1}{r} E = 4 \pi \rho$,
или для потенциала
$\frac{d^{2} \phi}{dr^{2}} + \frac{1}{r} \frac{d \phi}{dr} = - 4 \pi \rho$.
Частное решение этого уравнения $\phi_{1} = - \pi \rho r^{2}$. Решение соответствующего однородного уравнения $\frac{d^{2} \phi}{dr^{2}} + \frac{1}{r} \frac{d \phi}{dr} = 0$ имеет вид $\phi_{2} = C ln r + C_{1}$. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения
$\phi = \phi_{1} + \phi_{2} = C ln r + C_{1} - \pi \rho r^{2}$.
Подставляя сюда заданные в условии задачи значения потенциала, находим $C$ и $C_{1}$ и получаем ответ (потенциал в точке на расстоянии $r$ от оси цилиндров):
$\phi = \frac{ \phi_{0} + \pi \rho (R_{2}^{2} - R_{1}^{2})}{ln \frac{R_{2}}{R_{1}}} ln \frac{r}{R_{1}} - \pi \rho (r^{2} - R_{1}^{2})$.
