ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2024-03-16   
Два тела, связанные нитью длиной $l$, лежат на горизонтальной плоскости. Масса каждого тела $m$, а заряд $q$. Нить пережигают, и тела скользят по поверхности. Определить максимальную $v_{max}$ скорость тел, если коэффициент трения тел о поверхность равен $\mu$.


Решение:


Энергия системы из двух заряженных тел в начальный момент:

$W_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q^{2}}{l}$.

Энергия системы из тех же тел в тот момент, когда скорость станет максимальной:

$W_{2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q^{2}}{x} + \frac{mv_{max}^{2}}{2}$,

где $x$ - расстояние между телами в этот момент времени.

Потеря $\Delta W = W_{2} - W_{1}$ энергии системы происходит за счет работы $A_{тр} = - F_{тр}S$, где $F_{тр} = \mu mg, S = \frac{x - l}{2}$ - путь, пройденный каждым
телом. Закон сохранения энергии:

$\frac{1}{ 4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q^{2}}{x} + mv_{max}^{2} - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q^{2}}{l} = - \mu mg (x - l)$. (1)

Скорости тел максимальны, когда их ускорения равны нулю:

$F_{тр} = F_{кулон}$ или $\mu mg = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q^{2}}{x^{2}}$. (2)

Из (2) определим величину $x$ и подставим ее в (1):

$q \sqrt{ \frac{ \mu mg}{4 \pi \epsilon_{0}}} + mv_{max}^{2} - \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q^{2}}{l} = \mu ml - q \sqrt{ \frac{ \mu mg}{4 \pi \epsilon_{0} } }$,

откуда

$v_{max} = \frac{q}{ \sqrt{4 \pi \epsilon_{0}ml } } - \sqrt{ \mu gl}$.

Дополнительно должно соблюдаться условие:

$\mu mg < \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}l^{2}}$.