Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16352
2024-03-16 
Тонкий однородный брусок длиной 1 скользит сначала по гладкому горизонтальному столу, а затем попадает на шероховатый участок с коэффициентом трения $\mu$. Брусок останавливается, въехав туда наполовину. Определить начальную скорость $v_{0}$ бруска и время $\tau_{торм}$ его торможения.
Решение:
Пусть в какой-то момент на шероховатой поверхности находится $x$-ая часть бруска ($x < \frac{1}{2}$, см. рисунок). Сила нормальной реакции распределена вдоль бруска равномерно:
$F_{тр} = - \mu mg \left ( \frac{x}{l} \right )$.
Ускорение бруска:
$a = \ddot{x} = \frac{F_{тр}}{m} = - \mu g \frac{x}{l}$.
Мы имеем уравнение колебаний:
$\ddot{x} + \frac{ \mu g}{l}x = 0$,
где коэффициент перед $x$ представляет собой $\omega^{2} = \frac{4 \pi^{2}}{T^{2}}$. Торможение бруска начинается при $x$ = 0 и заканчивается при $v = 0$, что соответствует четверти периода $T$ «колебаний»:
$\tau_{торм} = \frac{t}{4} = \frac{1}{4} \frac{2 \pi}{ \omega} = \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{1}{ \mu g}}$.
Разумеется, настоящих колебаний не будет: брусок обратно не поедет. Решение уравнения колебаний даст координату $x$ бруска:
$x = \frac{1}{2} \sin \left ( \sqrt{ \frac{ \mu g}{l} } t \right ), 0 \leq t < \tau$.
Тогда скорость бруска:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{ \mu g}{l} } \cos \sqrt{ \frac{ \mu g}{l} }$ при $0 \leq t < \tau$.
Отсюда находим начальную скорость:
$v = v(0) = \frac{1}{2} \sqrt{ \mu gl}$.
Тонкий однородный брусок длиной 1 скользит сначала по гладкому горизонтальному столу, а затем попадает на шероховатый участок с коэффициентом трения $\mu$. Брусок останавливается, въехав туда наполовину. Определить начальную скорость $v_{0}$ бруска и время $\tau_{торм}$ его торможения.
Решение:
Пусть в какой-то момент на шероховатой поверхности находится $x$-ая часть бруска ($x < \frac{1}{2}$, см. рисунок). Сила нормальной реакции распределена вдоль бруска равномерно:
$F_{тр} = - \mu mg \left ( \frac{x}{l} \right )$.
Ускорение бруска:
$a = \ddot{x} = \frac{F_{тр}}{m} = - \mu g \frac{x}{l}$.
Мы имеем уравнение колебаний:
$\ddot{x} + \frac{ \mu g}{l}x = 0$,
где коэффициент перед $x$ представляет собой $\omega^{2} = \frac{4 \pi^{2}}{T^{2}}$. Торможение бруска начинается при $x$ = 0 и заканчивается при $v = 0$, что соответствует четверти периода $T$ «колебаний»:
$\tau_{торм} = \frac{t}{4} = \frac{1}{4} \frac{2 \pi}{ \omega} = \frac{ \pi}{2} \sqrt{ \frac{1}{ \mu g}}$.
Разумеется, настоящих колебаний не будет: брусок обратно не поедет. Решение уравнения колебаний даст координату $x$ бруска:
$x = \frac{1}{2} \sin \left ( \sqrt{ \frac{ \mu g}{l} } t \right ), 0 \leq t < \tau$.
Тогда скорость бруска:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{ \mu g}{l} } \cos \sqrt{ \frac{ \mu g}{l} }$ при $0 \leq t < \tau$.
Отсюда находим начальную скорость:
$v = v(0) = \frac{1}{2} \sqrt{ \mu gl}$.
