Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16349
2024-03-13 
Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и двух одинаковых конденсаторов, включенных между собой последовательно (рис.). Катушка и конденсаторы практически идеальные, но из-за наличия малого сопротивления соединяющих проводов $r = 0,1 Ом$ колебания медленно затухают: за $n_{1} = 10$ периодов колебаний амплитуда тока через катушку уменьшается на $\alpha = 1$%. Параллельно одному из конденсаторов подключают резистор, и теперь амплитуда колебаний уменьшается на тот же 1% за $n_{2} = 2$ полных периода колебаний. Найти сопротивление этого резистора.
Решение:
Рассмотрим вначале случай, когда подключение резистора изменяет частоту контура незначительно - большой резистор. В этом случае в нем за период должно рассеиваться тепла в Ф раза больше, чем в последовательном резисторе (общая мощность потерь возросла в 5 раз). Затухание и в этом случае можно считать малым, поэтому эффективное (действующее) значение силы тока и напряжения будем брать, как и для синусоидального. Тогда для случая только последовательного резистора (с учетом того, что 1% по амплитуде - это 2% по энергии):
$r \left ( \frac{I_{0}^{2}}{2} \right ) \cdot 10T = \frac{0,02 LI_{0}^{2}}{2}$.
Период для нашего контура $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{LC}{2}}$. Для параллельного резистора (напряжение на нем - половина напряжения на катушке): $\frac{ \left ( \frac{U_{0}}{2} \right )^{2} }{2R_{1}} = \frac{4rI_{0}^{2}}{2}$; в нашем контуре с последовательно соединенными конденсаторами $\frac{CU_{0}^{2}}{4} = \frac{LI_{0}^{2}}{2}$. Окончательно получим:
$R_{1} = \frac{10^{6} \pi^{2}r}{16} \approx 6 \cdot 10^{4} Ом$.
Есть и другая возможность удовлетворить формально условию задачи - взять маленький резистор, «закоротив» один из конденсаторов и увеличив этим период колебаний в контуре. При этом:
$r \left ( \frac{I_{0}^{2}}{2} \right ) \cdot 10T = (r + R_{2}) \left ( \frac{I_{0}^{2}}{2} \right ) \cdot 2 \cdot 1,41T; R_{2} = 2,5r = 0,25 Ом$.
Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и двух одинаковых конденсаторов, включенных между собой последовательно (рис.). Катушка и конденсаторы практически идеальные, но из-за наличия малого сопротивления соединяющих проводов $r = 0,1 Ом$ колебания медленно затухают: за $n_{1} = 10$ периодов колебаний амплитуда тока через катушку уменьшается на $\alpha = 1$%. Параллельно одному из конденсаторов подключают резистор, и теперь амплитуда колебаний уменьшается на тот же 1% за $n_{2} = 2$ полных периода колебаний. Найти сопротивление этого резистора.
Решение:
Рассмотрим вначале случай, когда подключение резистора изменяет частоту контура незначительно - большой резистор. В этом случае в нем за период должно рассеиваться тепла в Ф раза больше, чем в последовательном резисторе (общая мощность потерь возросла в 5 раз). Затухание и в этом случае можно считать малым, поэтому эффективное (действующее) значение силы тока и напряжения будем брать, как и для синусоидального. Тогда для случая только последовательного резистора (с учетом того, что 1% по амплитуде - это 2% по энергии):
$r \left ( \frac{I_{0}^{2}}{2} \right ) \cdot 10T = \frac{0,02 LI_{0}^{2}}{2}$.
Период для нашего контура $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{LC}{2}}$. Для параллельного резистора (напряжение на нем - половина напряжения на катушке): $\frac{ \left ( \frac{U_{0}}{2} \right )^{2} }{2R_{1}} = \frac{4rI_{0}^{2}}{2}$; в нашем контуре с последовательно соединенными конденсаторами $\frac{CU_{0}^{2}}{4} = \frac{LI_{0}^{2}}{2}$. Окончательно получим:
$R_{1} = \frac{10^{6} \pi^{2}r}{16} \approx 6 \cdot 10^{4} Ом$.
Есть и другая возможность удовлетворить формально условию задачи - взять маленький резистор, «закоротив» один из конденсаторов и увеличив этим период колебаний в контуре. При этом:
$r \left ( \frac{I_{0}^{2}}{2} \right ) \cdot 10T = (r + R_{2}) \left ( \frac{I_{0}^{2}}{2} \right ) \cdot 2 \cdot 1,41T; R_{2} = 2,5r = 0,25 Ом$.
