Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16347
2024-03-13 
Вдали от всех других тел в космосе движутся два маленьких заряженных шарика: масса одного из них $m$, а масса другого $2m$. Заряды шариков равны по величине и противоположны по знаку. В данный момент расстояние между шариками равно $a$, скорость тяжелого шарика равна $v$ и направлена вдоль прямой, соединяющей центры шариков, в направлении от легкого шарика; скорость легкого шарика такая же по величине, но перпендикулярна указанной прямой. При какой величине зарядов шарики при дальнейшем движении побывают дважды на расстоянии $5a$ друг от друга? Гравитационным взаимодействием шариков пренебречь.
Решение:
Заряды шариков не должны быть слишком велики - при этом они просто не разлетятся на расстояние 5а, они не должны быть слишком малы - при этом шарики вообще разлетелись бы «на бесконечность» и не вернулись бы друг к другу. Итак, для того, чтобы шарики побывали на указанном расстоянии дважды (а в этом случае - и многократно), их заряды должны лежать в определенном интервале. Найдем его «верхнюю» границу, соответствующую случаю, когда максимальное расстояние между шариками составит $5a$. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии: , кинетическая энергия шариков уменьшается при разлете и на такую же величину возрастает энергия электростатического взаимодействия зарядов. Однако не вся кинетическая энергия системы перейдет в электрическую: центр масс продолжает двигаться с неизменной скоростью, а шарики, кроме «разлета», могут вращаться вокруг центра масс - все это сохраняет часть кинетической энергии от перехода в электрическую. Итак, перейдем в систему, связанную с центром масс шариков; ее скорость удобно представить, как состоящую из двух компонент - вдоль прямой (начальный момент!) $\frac{2v}{3}$ и перпендикулярно ей $\frac{v}{З}$.
На рис. а и б показаны скорости шариков в системе центра масс сразу после начала движения и на максимальном удалении $5a$ соответственно (масштаб на рисунке не соблюдается: отрезок на рис. б должен быть в 5 раз длиннее отрезка на рис. а). Во втором случае шарики уже не разлетаются и их скорости перпендикулярны прямой. Легко видеть, что скорость $v_{1}$ во столько раз меньше скорости $\frac{v}{3}$, во сколько раз расстояние до центра масс для этого шарика больше начального, т.е. $v_{1} = \frac{v}{15}$. Для легкого шарика эта скорость в два раза больше. Итак, баланс энергий:
$\frac{m \cdot 4v^{2}}{9} + \frac{2mv^{2}}{9} - \frac{m \cdot 2v^{2}}{225} - \frac{2mv^{2}}{2 \cdot 225} = kQ_{1}^{2} \left ( \frac{1}{a} - \frac{1}{5a} \right )$.
Отсюда получаем: $Q_{1} = v \sqrt{ \frac{49ma}{60k} }$.
Аналогично для величины $Q_{2}$, гарантирующей шарики от разлета на бесконечное расстояние. Но теперь можно не учитывать в энергии «вращательную» составляющую - при большом расстоянии между шариками эта компонента скорости становится пренебрежимо малой. Тогда получаем:
$\frac{m \cdot 4v^{2}}{9} + \frac{2mv^{2}}{9} = \frac{kQ_{2}^{2}}{a}; Q_{2} = v \sqrt{ \frac{2ma}{3k} }$.
Итак, при $Q_{1} \geq Q \geq Q_{2}$ шарики побывают дважды (и еще много раз) на расстоянии $5a$ друг от друга.
Наше решение может стать некорректным при малых массах шариков - их ускорения могут стать большими и будет излучена значительная часть энергии, а мы ее не сможем учесть. Не учитывали мы и магнитного взаимодействия между зарядами - но это все настолько усложнило бы решение, что лучше всего на олимпиаде просто упомянуть об этом в решении и ни в коем случае не рассматривать, ни в коем случае!
Вдали от всех других тел в космосе движутся два маленьких заряженных шарика: масса одного из них $m$, а масса другого $2m$. Заряды шариков равны по величине и противоположны по знаку. В данный момент расстояние между шариками равно $a$, скорость тяжелого шарика равна $v$ и направлена вдоль прямой, соединяющей центры шариков, в направлении от легкого шарика; скорость легкого шарика такая же по величине, но перпендикулярна указанной прямой. При какой величине зарядов шарики при дальнейшем движении побывают дважды на расстоянии $5a$ друг от друга? Гравитационным взаимодействием шариков пренебречь.
Решение:
Заряды шариков не должны быть слишком велики - при этом они просто не разлетятся на расстояние 5а, они не должны быть слишком малы - при этом шарики вообще разлетелись бы «на бесконечность» и не вернулись бы друг к другу. Итак, для того, чтобы шарики побывали на указанном расстоянии дважды (а в этом случае - и многократно), их заряды должны лежать в определенном интервале. Найдем его «верхнюю» границу, соответствующую случаю, когда максимальное расстояние между шариками составит $5a$. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии: , кинетическая энергия шариков уменьшается при разлете и на такую же величину возрастает энергия электростатического взаимодействия зарядов. Однако не вся кинетическая энергия системы перейдет в электрическую: центр масс продолжает двигаться с неизменной скоростью, а шарики, кроме «разлета», могут вращаться вокруг центра масс - все это сохраняет часть кинетической энергии от перехода в электрическую. Итак, перейдем в систему, связанную с центром масс шариков; ее скорость удобно представить, как состоящую из двух компонент - вдоль прямой (начальный момент!) $\frac{2v}{3}$ и перпендикулярно ей $\frac{v}{З}$.
На рис. а и б показаны скорости шариков в системе центра масс сразу после начала движения и на максимальном удалении $5a$ соответственно (масштаб на рисунке не соблюдается: отрезок на рис. б должен быть в 5 раз длиннее отрезка на рис. а). Во втором случае шарики уже не разлетаются и их скорости перпендикулярны прямой. Легко видеть, что скорость $v_{1}$ во столько раз меньше скорости $\frac{v}{3}$, во сколько раз расстояние до центра масс для этого шарика больше начального, т.е. $v_{1} = \frac{v}{15}$. Для легкого шарика эта скорость в два раза больше. Итак, баланс энергий:
$\frac{m \cdot 4v^{2}}{9} + \frac{2mv^{2}}{9} - \frac{m \cdot 2v^{2}}{225} - \frac{2mv^{2}}{2 \cdot 225} = kQ_{1}^{2} \left ( \frac{1}{a} - \frac{1}{5a} \right )$.
Отсюда получаем: $Q_{1} = v \sqrt{ \frac{49ma}{60k} }$.
Аналогично для величины $Q_{2}$, гарантирующей шарики от разлета на бесконечное расстояние. Но теперь можно не учитывать в энергии «вращательную» составляющую - при большом расстоянии между шариками эта компонента скорости становится пренебрежимо малой. Тогда получаем:
$\frac{m \cdot 4v^{2}}{9} + \frac{2mv^{2}}{9} = \frac{kQ_{2}^{2}}{a}; Q_{2} = v \sqrt{ \frac{2ma}{3k} }$.
Итак, при $Q_{1} \geq Q \geq Q_{2}$ шарики побывают дважды (и еще много раз) на расстоянии $5a$ друг от друга.
Наше решение может стать некорректным при малых массах шариков - их ускорения могут стать большими и будет излучена значительная часть энергии, а мы ее не сможем учесть. Не учитывали мы и магнитного взаимодействия между зарядами - но это все настолько усложнило бы решение, что лучше всего на олимпиаде просто упомянуть об этом в решении и ни в коем случае не рассматривать, ни в коем случае!
