Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16346
2024-03-13 
На компьютере сделана «модель» биллиарда (рис.): на квадратном гладком горизонтальном столе размером 1 на 1 метр могут двигаться одинаковые шайбы диаметром 1мм каждая, общее число шайб 10000, вначале компьютер располагает шайбы случайным образом. Один из углов квадрата «срезан» под углом $45^{ \circ}$, образуя лузу длины 1 см; шайба, попавшая в лузу, вылетает со стола. В начальный момент одна из шайб имеет случайно направленную скорость 1м/с, остальные неподвижны. Все удары запрограммированы как абсолютно упругие (удары шайб друг о друга нелобовые!). Через какое время со стола вылетит первая тысяча шайб? Оценить время, за которое в большинстве экспериментов через лузу вылетят все шайбы.
Решение:
Через некоторое время после начала процесса движение шайб «хаотизируется», средняя энергия шайбы составит $\frac{Mv_{0}^{2}}{2N}$ и это дает возможность найти «среднеквадратичную» скорость шайбы $v = \frac{v_{0}}{ \sqrt{N}} = 0,01м/с$. Оценив обычным образом длину свободного пробега шайбы, получим среднее время между ударами: $\lambda = \frac{a^{2}}{N} 2d = 0,05 м; t = \frac{ \lambda}{v} = 5 с$. Отсюда видно, что время «хаотизации» составляет десятки секунд (в начале процесса удары происходят чаще и основной вклад в «разравнивание» скоростей дают удары после того, как скорости шайб уже существенно меньше ио). Далее будет видно, что этим временем можно пренебречь, т. к. оно составляет небольшую часть искомых интервалов.
Число вылетающих шайб можно считать обычным способом, как и при расчете давления молекул на стенку; нужно только учесть, что движение «двумерное» и оценка скорости вдоль некоторой оси должна содержать не «корень из трех», а «корень из двух»: квадрат полной скорости складывается из суммы квадратов двух компонент скорости. Для оценки времени вылета первой тысячи шайб $\tau_{1}$ будем считать «концентрацию» шайб неизменной:
$0,5l \left ( \frac{v}{ \sqrt{2}} \right ) \tau_{1} \frac{N}{a^{2}} = \frac{N}{10}$.
Отсюда $\tau_{1} \approx 3 \cdot 10^{3} с$.
Для оценки времени вылета остальных шайб $\tau_{2}$ заметим, что при уменьшении концентрации уменьшается во столько же раз и число ударов (скорости шайб внутри будем считать не изменяющимися; правда, это не совсем точно, так как у быстрых шайб вероятность вылететь за данный интервал времени побольше, но для оценки мы это учитывать не будем). Значит, за следующие 3000 секунд вылетит $\frac{1}{10}$ оставшихся шайб, за следующие 3000 секунд - еще $\frac{1}{10}$ и т. д. Это означает, что число шайб, оставшихся после $n$ таких интервалов, будет $(0,9)^{n}N$. Теперь можно найти такое число интервалов, после которого останется только одна шайба: $lg N + n lg 0,9 = 0; n = - \frac{4}{lg 0,9} \approx 100$. Тогда $\tau_{2} = n \tau_{1} \approx 3 \cdot 10^{5} с$.
Посмотрим, большой ли вклад дают последние шайбы: вероятность вылета при одном ударе можно оценить, как отношение длины лузы к суммарной длине всех стенок - получается $\frac{1}{400}$. Время между ударами порядка 20 секунд, время вылета последних шайб получается порядка нескольких тысяч секунд, что не изменяет заметно времени $\tau_{2}$.
На компьютере сделана «модель» биллиарда (рис.): на квадратном гладком горизонтальном столе размером 1 на 1 метр могут двигаться одинаковые шайбы диаметром 1мм каждая, общее число шайб 10000, вначале компьютер располагает шайбы случайным образом. Один из углов квадрата «срезан» под углом $45^{ \circ}$, образуя лузу длины 1 см; шайба, попавшая в лузу, вылетает со стола. В начальный момент одна из шайб имеет случайно направленную скорость 1м/с, остальные неподвижны. Все удары запрограммированы как абсолютно упругие (удары шайб друг о друга нелобовые!). Через какое время со стола вылетит первая тысяча шайб? Оценить время, за которое в большинстве экспериментов через лузу вылетят все шайбы.
Решение:
Через некоторое время после начала процесса движение шайб «хаотизируется», средняя энергия шайбы составит $\frac{Mv_{0}^{2}}{2N}$ и это дает возможность найти «среднеквадратичную» скорость шайбы $v = \frac{v_{0}}{ \sqrt{N}} = 0,01м/с$. Оценив обычным образом длину свободного пробега шайбы, получим среднее время между ударами: $\lambda = \frac{a^{2}}{N} 2d = 0,05 м; t = \frac{ \lambda}{v} = 5 с$. Отсюда видно, что время «хаотизации» составляет десятки секунд (в начале процесса удары происходят чаще и основной вклад в «разравнивание» скоростей дают удары после того, как скорости шайб уже существенно меньше ио). Далее будет видно, что этим временем можно пренебречь, т. к. оно составляет небольшую часть искомых интервалов.
Число вылетающих шайб можно считать обычным способом, как и при расчете давления молекул на стенку; нужно только учесть, что движение «двумерное» и оценка скорости вдоль некоторой оси должна содержать не «корень из трех», а «корень из двух»: квадрат полной скорости складывается из суммы квадратов двух компонент скорости. Для оценки времени вылета первой тысячи шайб $\tau_{1}$ будем считать «концентрацию» шайб неизменной:
$0,5l \left ( \frac{v}{ \sqrt{2}} \right ) \tau_{1} \frac{N}{a^{2}} = \frac{N}{10}$.
Отсюда $\tau_{1} \approx 3 \cdot 10^{3} с$.
Для оценки времени вылета остальных шайб $\tau_{2}$ заметим, что при уменьшении концентрации уменьшается во столько же раз и число ударов (скорости шайб внутри будем считать не изменяющимися; правда, это не совсем точно, так как у быстрых шайб вероятность вылететь за данный интервал времени побольше, но для оценки мы это учитывать не будем). Значит, за следующие 3000 секунд вылетит $\frac{1}{10}$ оставшихся шайб, за следующие 3000 секунд - еще $\frac{1}{10}$ и т. д. Это означает, что число шайб, оставшихся после $n$ таких интервалов, будет $(0,9)^{n}N$. Теперь можно найти такое число интервалов, после которого останется только одна шайба: $lg N + n lg 0,9 = 0; n = - \frac{4}{lg 0,9} \approx 100$. Тогда $\tau_{2} = n \tau_{1} \approx 3 \cdot 10^{5} с$.
Посмотрим, большой ли вклад дают последние шайбы: вероятность вылета при одном ударе можно оценить, как отношение длины лузы к суммарной длине всех стенок - получается $\frac{1}{400}$. Время между ударами порядка 20 секунд, время вылета последних шайб получается порядка нескольких тысяч секунд, что не изменяет заметно времени $\tau_{2}$.
