Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16344
2024-03-13 
К источнику переменного напряжения 36 В, 50 Гц подключена катушка, намотанная на сердечник с большой магнитной проницаемостью и содержащая большое число витков. Последовательно с катушкой включен амперметр, он показывает ток, 0,5 А. Конденсатор подключают между одним из концов катушки и отводом от ее середины. При какой емкости конденсатора амперметр будет показывать а) 1 А? б) 0,1 А ? Элементы цепи считать идеальными, рассеяния магнитного потока нет.
Решение:
Пусть приложенное напряжение $U(t) = U_{0} \cos \omega t$. Магнитный поток через любой виток катушки один и тот же (нет рассеяния магнитного потока), поэтому напряжение на каждой из половин обмотки получится равным половине приложенного напряжения. Тогда легко найти ток через конденсатор: $I_{C} = - 0,5 \omega CU_{0} \sin \omega t$.
Вернемся к катушке. Если не подключать конденсатор, то можно записать: поле в сердечнике $B_{1} = knI_{1}$, поток через все витки $\Phi_{1} = B_{1}nS = kn^{2}SI_{1} = LI_{1}$, тогда $L = kn^{2}S$. Теперь учтем, что токи через «половинки» катушки не одинаковы: по одной из них течет ток $I$ (его и показывает амперметр), а по другой, с подключенным параллельно конденсатором, ток $I - I_{C}$. Тогда поле в сердечнике
$B = \frac{knI}{2} + \frac{kn(I - I_{C})}{2}$,
поток через все витки, катушки
$\Phi = kn^{2}SI - 0,5kn^{2}SI_{C} = L(I - 0,5I_{C})$.
Учитывая все необходимые при расчете ЭДС индукции знаки, получим:
$\omega L(I - 0,5I_{C}) = U_{0} \sin \omega t$.
(Для самопроверки: без подключенного конденсатора ток в цепи катушки должен отставать по фазе от напряжения на четверть периода; положим равным нулю $I_{C}$ и в нашем случае мы получим ток через катушку именно таким - без знака «минус».) Итак, мы получили выражение для тока в общей цепи:
$I(t) = \frac{U_{0}}{ \omega L} (1 - 0,25 \omega^{2} LC ) \sin \omega t$.
Множитель $\frac{U_{0}}{ \omega L}$ представляет собой амплитуду тока через катушку в первом случае - до подключения конденсатора. Ясно, что 36 В - это значение действующее, а не амплитудное, но это не усложняет расчет: просто нужно брать все значения токов и напряжений либо амплитудными, либо действующими (эффективными), соотношения между ними при этом не изменятся. Мы будем пользоваться действующими значениями. Индуктивное сопротивление катушки $X_{L} = \frac{36}{0,5} = 72 (Ом)$ (при этом ее индуктивность $L \approx 0,23 Гн$). Найдем емкостные сопротивления и емкости конденсаторов для всех случаев, упомянутых в условии задачи. Кстати, таких случаев ровно три (нас интересует абсолютная величина силы тока, ведь амперметр измеряет именно ее): сила тока 0,1 А, -0,1 А и -1 А. Для этих значений получим:
$X_{C_{1}} = \frac{72 \cdot 5}{16} = 22,5 (Ом), C_{1} = 140 мкФ$;
$X_{C_{2}} = \frac{72 \cdot 5}{24} = 15 (Ом); C_{2} = 230 мкФ$;
$X_{C_{3}} = \frac{72}{12} = б(Ом); C_{3} = 530 мкФ$.
К источнику переменного напряжения 36 В, 50 Гц подключена катушка, намотанная на сердечник с большой магнитной проницаемостью и содержащая большое число витков. Последовательно с катушкой включен амперметр, он показывает ток, 0,5 А. Конденсатор подключают между одним из концов катушки и отводом от ее середины. При какой емкости конденсатора амперметр будет показывать а) 1 А? б) 0,1 А ? Элементы цепи считать идеальными, рассеяния магнитного потока нет.
Решение:
Пусть приложенное напряжение $U(t) = U_{0} \cos \omega t$. Магнитный поток через любой виток катушки один и тот же (нет рассеяния магнитного потока), поэтому напряжение на каждой из половин обмотки получится равным половине приложенного напряжения. Тогда легко найти ток через конденсатор: $I_{C} = - 0,5 \omega CU_{0} \sin \omega t$.
Вернемся к катушке. Если не подключать конденсатор, то можно записать: поле в сердечнике $B_{1} = knI_{1}$, поток через все витки $\Phi_{1} = B_{1}nS = kn^{2}SI_{1} = LI_{1}$, тогда $L = kn^{2}S$. Теперь учтем, что токи через «половинки» катушки не одинаковы: по одной из них течет ток $I$ (его и показывает амперметр), а по другой, с подключенным параллельно конденсатором, ток $I - I_{C}$. Тогда поле в сердечнике
$B = \frac{knI}{2} + \frac{kn(I - I_{C})}{2}$,
поток через все витки, катушки
$\Phi = kn^{2}SI - 0,5kn^{2}SI_{C} = L(I - 0,5I_{C})$.
Учитывая все необходимые при расчете ЭДС индукции знаки, получим:
$\omega L(I - 0,5I_{C}) = U_{0} \sin \omega t$.
(Для самопроверки: без подключенного конденсатора ток в цепи катушки должен отставать по фазе от напряжения на четверть периода; положим равным нулю $I_{C}$ и в нашем случае мы получим ток через катушку именно таким - без знака «минус».) Итак, мы получили выражение для тока в общей цепи:
$I(t) = \frac{U_{0}}{ \omega L} (1 - 0,25 \omega^{2} LC ) \sin \omega t$.
Множитель $\frac{U_{0}}{ \omega L}$ представляет собой амплитуду тока через катушку в первом случае - до подключения конденсатора. Ясно, что 36 В - это значение действующее, а не амплитудное, но это не усложняет расчет: просто нужно брать все значения токов и напряжений либо амплитудными, либо действующими (эффективными), соотношения между ними при этом не изменятся. Мы будем пользоваться действующими значениями. Индуктивное сопротивление катушки $X_{L} = \frac{36}{0,5} = 72 (Ом)$ (при этом ее индуктивность $L \approx 0,23 Гн$). Найдем емкостные сопротивления и емкости конденсаторов для всех случаев, упомянутых в условии задачи. Кстати, таких случаев ровно три (нас интересует абсолютная величина силы тока, ведь амперметр измеряет именно ее): сила тока 0,1 А, -0,1 А и -1 А. Для этих значений получим:
$X_{C_{1}} = \frac{72 \cdot 5}{16} = 22,5 (Ом), C_{1} = 140 мкФ$;
$X_{C_{2}} = \frac{72 \cdot 5}{24} = 15 (Ом); C_{2} = 230 мкФ$;
$X_{C_{3}} = \frac{72}{12} = б(Ом); C_{3} = 530 мкФ$.
