Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16339
2024-03-13 
Вдали от всех тяготеющих масс в космосе неподвижно висит тонкая однородная спица длины $L = 10 м$ и массы $M = 1 кг$. По ней может без трения скользить бусинка массы $m = 0,1 кг$. В начальный момент бусинка смещена относительно центра спицы на $d = 1 см$, система неподвижна. Через какое время бусинка окажется в центре спицы? Гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} Н \cdot м^{2}/кг^{2}$.
Решение:
Ясно, что центр, масс системы остается неподвижным. При смещении бусинки на малое расстояние $x$ относительно центра спицы не скомпенсирована сила притяжения конца спицы длины $2x$, этот кусок находится на расстоянии $\frac{L}{2}$ от бусинки. Гравитационную силу, действующую на бусинку, можно записать так:
$F = \frac{Gm \left ( M \frac{2x}{L} \right )}{ \frac{L^{2}}{4} } = \frac{8GmM}{L^{3}}x$.
Видно, что это возвращающая сила, и ускорение бусинки получается пропорциональным ее смещению относительно центра спицы. Нужно еще учесть, что колебания бусинки происходят относительно центра спицы, поэтому нужно найти относительное ускорение. На спицу действует такая же сила, что и на бусинку. Складывая значения ускорений спицы и бусинки, получим: $a =- \frac{x \cdot 8G(m+M)}{L^{3}}$. Это уравнение гармонических колебаний. До возвращения бусинки в центр должна пройти четверть периода этих колебаний:
$\tau = \frac{1}{2} \pi \sqrt{ \frac{L^{3}}{8G(m+M)} } \approx 2 \cdot 10^{6} с$.
Вдали от всех тяготеющих масс в космосе неподвижно висит тонкая однородная спица длины $L = 10 м$ и массы $M = 1 кг$. По ней может без трения скользить бусинка массы $m = 0,1 кг$. В начальный момент бусинка смещена относительно центра спицы на $d = 1 см$, система неподвижна. Через какое время бусинка окажется в центре спицы? Гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-11} Н \cdot м^{2}/кг^{2}$.
Решение:
Ясно, что центр, масс системы остается неподвижным. При смещении бусинки на малое расстояние $x$ относительно центра спицы не скомпенсирована сила притяжения конца спицы длины $2x$, этот кусок находится на расстоянии $\frac{L}{2}$ от бусинки. Гравитационную силу, действующую на бусинку, можно записать так:
$F = \frac{Gm \left ( M \frac{2x}{L} \right )}{ \frac{L^{2}}{4} } = \frac{8GmM}{L^{3}}x$.
Видно, что это возвращающая сила, и ускорение бусинки получается пропорциональным ее смещению относительно центра спицы. Нужно еще учесть, что колебания бусинки происходят относительно центра спицы, поэтому нужно найти относительное ускорение. На спицу действует такая же сила, что и на бусинку. Складывая значения ускорений спицы и бусинки, получим: $a =- \frac{x \cdot 8G(m+M)}{L^{3}}$. Это уравнение гармонических колебаний. До возвращения бусинки в центр должна пройти четверть периода этих колебаний:
$\tau = \frac{1}{2} \pi \sqrt{ \frac{L^{3}}{8G(m+M)} } \approx 2 \cdot 10^{6} с$.
