Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16338
2024-03-13 
На гладкой горизонтальной поверхности стола стоит обруч радиуса $R$, масса обруча $M$. Обруч пытались перепилить, однако дело не было доведено до конца - размер поврежденной области очень мал по сравнению с радиусом, масса удаленных опилок составила $m$. В начальный момент поврежденное место находится точно внизу. От совсем малого толчка обруч выходит из состояния равновесия. Найти максимальное смещение и максимальную скорость центра обруча. Найти максимальную угловую скорость обруча. Считать, что обруч все время остается в вертикальной плоскости.
Решение:
Будем считать $\frac{m}{M} = \xi \ll 1$. Для упрощения расчетов вернем на место удаленные опилки, а в диаметрально противоположной точке добавим массу $m$. Пусть скорость центра обруча в данный момент $u$, угол поворота $\phi$ и угловая скорость $\omega$. Запишем уравнение закона сохранения импульса по горизонтали:
$Mu = m( \omega R \cos \phi - u)$
и уравнение закона сохранения энергии:
$mgR (1 - \cos \phi ) = \frac{Mu^{2}}{2} + \frac{M \omega^{2}R^{2} }{2}$
(мы пренебрегли энергией маленькой массы, поскольку она движется вместе с другими точками массивного обруча). Для нахождения максимальной скорости центра обруча выразим его угловую скорость из уравнения импульса и подставим в «энергетическое» уравнение, а затем выразим скорость центра обруча через угол поворота и найдем максимум, приравняв нулю производную скорости по углу. Учитывая малость отношения масс, получим: $u^{2} = 2 \xi^{3} gR \cos^{2} \phi (1 - \cos \phi)$. Не будем извлекать корень, найдем максимум квадрата скорости. Это достигается при $\cos \phi = \frac{2}{3}$, соответствующее значение максимальной скорости центра обруча $u_{0} = \sqrt{ \frac{8 \xi^{3}gR }{27} }$.
Максимальное значение угловой скорости обруча соответствует углу поворота $\phi = 180^{ \circ}$. При этом максимальная угловая скорость $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{4 \xi g}{R} }$. С максимальным смещением центра обруча дело обстоит сложнее: в условии задачи сказано просто о «малом» толчке. Если при этом скорость центра масс выведенной из равновесия системы равна нулю, то мы можем посчитать максимальное смещение центра, в противном случае стоит подождать подольше, и обруч уедет на любое, сколь угодно большое расстояние. Рассмотрим случай нулевой скорости центра масс: максимальное смещение соответствует самому «правому» положению малой массы. При этом получается $\phi = 90^{ \circ}$ и смещение массы $m$ относительно центра обруча составит $R$. Обозначив смещение центра через $x$, получим:
$Mx = m(R - x), x = \frac{mR}{M + m} \approx \xi R$.
На гладкой горизонтальной поверхности стола стоит обруч радиуса $R$, масса обруча $M$. Обруч пытались перепилить, однако дело не было доведено до конца - размер поврежденной области очень мал по сравнению с радиусом, масса удаленных опилок составила $m$. В начальный момент поврежденное место находится точно внизу. От совсем малого толчка обруч выходит из состояния равновесия. Найти максимальное смещение и максимальную скорость центра обруча. Найти максимальную угловую скорость обруча. Считать, что обруч все время остается в вертикальной плоскости.
Решение:
Будем считать $\frac{m}{M} = \xi \ll 1$. Для упрощения расчетов вернем на место удаленные опилки, а в диаметрально противоположной точке добавим массу $m$. Пусть скорость центра обруча в данный момент $u$, угол поворота $\phi$ и угловая скорость $\omega$. Запишем уравнение закона сохранения импульса по горизонтали:
$Mu = m( \omega R \cos \phi - u)$
и уравнение закона сохранения энергии:
$mgR (1 - \cos \phi ) = \frac{Mu^{2}}{2} + \frac{M \omega^{2}R^{2} }{2}$
(мы пренебрегли энергией маленькой массы, поскольку она движется вместе с другими точками массивного обруча). Для нахождения максимальной скорости центра обруча выразим его угловую скорость из уравнения импульса и подставим в «энергетическое» уравнение, а затем выразим скорость центра обруча через угол поворота и найдем максимум, приравняв нулю производную скорости по углу. Учитывая малость отношения масс, получим: $u^{2} = 2 \xi^{3} gR \cos^{2} \phi (1 - \cos \phi)$. Не будем извлекать корень, найдем максимум квадрата скорости. Это достигается при $\cos \phi = \frac{2}{3}$, соответствующее значение максимальной скорости центра обруча $u_{0} = \sqrt{ \frac{8 \xi^{3}gR }{27} }$.
Максимальное значение угловой скорости обруча соответствует углу поворота $\phi = 180^{ \circ}$. При этом максимальная угловая скорость $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{4 \xi g}{R} }$. С максимальным смещением центра обруча дело обстоит сложнее: в условии задачи сказано просто о «малом» толчке. Если при этом скорость центра масс выведенной из равновесия системы равна нулю, то мы можем посчитать максимальное смещение центра, в противном случае стоит подождать подольше, и обруч уедет на любое, сколь угодно большое расстояние. Рассмотрим случай нулевой скорости центра масс: максимальное смещение соответствует самому «правому» положению малой массы. При этом получается $\phi = 90^{ \circ}$ и смещение массы $m$ относительно центра обруча составит $R$. Обозначив смещение центра через $x$, получим:
$Mx = m(R - x), x = \frac{mR}{M + m} \approx \xi R$.
