Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16337
2024-03-13 
Источник переменного напряжения частоты $\omega$ имеет внутреннее сопротивление $R$. Известно, что максимальную мощность в нагрузке можно получить в том случае, когда сопротивление нагрузки в точности равно внутреннему сопротивлению источника (как и для цепей постоянного тока). Однако сопротивление нагрузки составляет $5R$. Как нужно подключить в цепь катушку индуктивности и конденсатор и какими они должны быть, чтобы мощность в нагрузке оказалась максимально возможной?
Решение:
Для решения этой задачи нужно уметь пользоваться одним из методов расчета цепей переменного тока: либо методом векторных диаграмм, либо способом, связанным с использованием комплексных чисел, - методом комплексных амплитуд (есть и другие методы расчета; годится любой метод, который может привести нас к ответу). Мы воспользуемся методом векторных диаграмм. Он сводится к рисованию векторов, которые изображают токи и напряжения в цепи, пока не получится какой-нибудь известный вектор, он и поможет определить остальные.
Рассмотрим следующее подключение резистора $5R$ к источнику: параллельно этому резистору включим конденсатор $C$, последовательно с этой параллельной цепочкой присоединим катушку $L$ и получившуюся последовательную цепь присоединим к источнику. Нам нужно так подобрать емкость конденсатора и индуктивность катушки, чтобы для источника последовательная цепь представляла собой «чистый резистор» $R$.
Начнем рисовать картинку (рис.). Для начала нарисуем вектор, который изображает напряжение на резисторе $5R$ (и на конденсаторе, конечно), - вектор $\vec{U}$. Затем на этой же картинке нарисуем векторы, изображающие токи через резистор и конденсатор (их мы рисуем потолще, чтобы на рисунке все было видно). Ток через резистор $I_{5R} = \frac{U}{5R}$. Ток через конденсатор $I_{C} = U \omega C$ (он опережает по фазе на $\frac{ \pi}{2}$ напряжение $U$). На этой же картинке (рис.) изобразим суммарный ток
$I = \sqrt{ \left ( \frac{U}{5R} \right )^{2} + (U \omega C)^{2} }$.
Теперь нарисуем вектор, который изобразит напряжение на катушке - он опережает по фазе на $\frac{ \pi }{2}$ ток через катушку (а через катушку и источник течет ток $I$, который мы записали выше). Напряжение на катушке $U_{L} = I \omega L$. Теперь осталось сообразить, что сумма векторов, изображающих напряжение на резисторе (на конденсаторе) и напряжение на катушке, равна напряжению источника $U_{0}$. А для того, чтобы вся цепь представляла собой «резистор» $R$, должно выполняться одновременно два условия: суммарный вектор напряжения должен быть параллелен вектору, изображающему общий ток (сдвиг фаз в цепи с «резистором» должен быть равен нулю), и должно выполняться соотношение для $I$ и $U_{0}$: $U_{0} = RI$.
Из «треугольника» для токов определим синус угла между $\vec{I}$ и $\vec{U}$, а затем потребуем, чтобы проекция вектора $\vec{U}$ на перпендикулярное току направление в точности скомпенсировала вектор $\vec{U}_{L}$ (этот вектор перпендикулярен вектору, изображающему ток $\vec{I}$). А составляющая вектора $\vec{U}$ вдоль вектора $\vec{I}$ (эта составляющая и есть напряжение источника $U_{0}$) должна быть равна $RI$. После нудных вычислений получим: $\omega L = 2R, \frac{1}{ \omega C} = 2,5R$. Это и есть ответ.
Источник переменного напряжения частоты $\omega$ имеет внутреннее сопротивление $R$. Известно, что максимальную мощность в нагрузке можно получить в том случае, когда сопротивление нагрузки в точности равно внутреннему сопротивлению источника (как и для цепей постоянного тока). Однако сопротивление нагрузки составляет $5R$. Как нужно подключить в цепь катушку индуктивности и конденсатор и какими они должны быть, чтобы мощность в нагрузке оказалась максимально возможной?
Решение:
Для решения этой задачи нужно уметь пользоваться одним из методов расчета цепей переменного тока: либо методом векторных диаграмм, либо способом, связанным с использованием комплексных чисел, - методом комплексных амплитуд (есть и другие методы расчета; годится любой метод, который может привести нас к ответу). Мы воспользуемся методом векторных диаграмм. Он сводится к рисованию векторов, которые изображают токи и напряжения в цепи, пока не получится какой-нибудь известный вектор, он и поможет определить остальные.
Рассмотрим следующее подключение резистора $5R$ к источнику: параллельно этому резистору включим конденсатор $C$, последовательно с этой параллельной цепочкой присоединим катушку $L$ и получившуюся последовательную цепь присоединим к источнику. Нам нужно так подобрать емкость конденсатора и индуктивность катушки, чтобы для источника последовательная цепь представляла собой «чистый резистор» $R$.
Начнем рисовать картинку (рис.). Для начала нарисуем вектор, который изображает напряжение на резисторе $5R$ (и на конденсаторе, конечно), - вектор $\vec{U}$. Затем на этой же картинке нарисуем векторы, изображающие токи через резистор и конденсатор (их мы рисуем потолще, чтобы на рисунке все было видно). Ток через резистор $I_{5R} = \frac{U}{5R}$. Ток через конденсатор $I_{C} = U \omega C$ (он опережает по фазе на $\frac{ \pi}{2}$ напряжение $U$). На этой же картинке (рис.) изобразим суммарный ток
$I = \sqrt{ \left ( \frac{U}{5R} \right )^{2} + (U \omega C)^{2} }$.
Теперь нарисуем вектор, который изобразит напряжение на катушке - он опережает по фазе на $\frac{ \pi }{2}$ ток через катушку (а через катушку и источник течет ток $I$, который мы записали выше). Напряжение на катушке $U_{L} = I \omega L$. Теперь осталось сообразить, что сумма векторов, изображающих напряжение на резисторе (на конденсаторе) и напряжение на катушке, равна напряжению источника $U_{0}$. А для того, чтобы вся цепь представляла собой «резистор» $R$, должно выполняться одновременно два условия: суммарный вектор напряжения должен быть параллелен вектору, изображающему общий ток (сдвиг фаз в цепи с «резистором» должен быть равен нулю), и должно выполняться соотношение для $I$ и $U_{0}$: $U_{0} = RI$.
Из «треугольника» для токов определим синус угла между $\vec{I}$ и $\vec{U}$, а затем потребуем, чтобы проекция вектора $\vec{U}$ на перпендикулярное току направление в точности скомпенсировала вектор $\vec{U}_{L}$ (этот вектор перпендикулярен вектору, изображающему ток $\vec{I}$). А составляющая вектора $\vec{U}$ вдоль вектора $\vec{I}$ (эта составляющая и есть напряжение источника $U_{0}$) должна быть равна $RI$. После нудных вычислений получим: $\omega L = 2R, \frac{1}{ \omega C} = 2,5R$. Это и есть ответ.
