Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16331
2024-03-13 
Вдали от всех других тел в космосе движутся два маленьких заряженных шарика:, масса одного из них 1г, другого - 2 г. Заряды шариков равны по величине и противоположны по знаку. В данный момент расстояние между шариками равно 1 м, скорость тяжелого шарика равна 1 м/с и направлена вдоль прямой, соединяющей центры шариков, в направлении от легкого шарика; скорость легкого шарика такая же по величине, но перпендикулярна указанной прямой. При какой величине зарядов шарики при дальнейшем движении побывают дважды на расстоянии 3 м друг от друга? Гравитационным взаимодействием шариков пренебречь.
Решение:
Заряды шариков не должны быть слишком велики - при этом они просто не разлетятся на расстояние $3a$, они не должны быть слишком малы - при этом шарики вообще разлетелись бы «на бесконечность» и не вернулись бы друг к другу. Итак, для того, чтобы шарики побывали на указанном расстоянии дважды (а в этом случае - и многократно), их заряды должны лежать в определенном интервале. Найдем его «верхнюю» границу, соответствующую случаю, когда максимальное расстояние между шариками составит $3a$. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии: кинетическая энергия шариков уменьшается при разлете и на такую же величину возрастает энергия электростатического взаимодействия зарядов. Однако не вся кинетическая энергия системы перейдет в электрическую: центр масс продолжает двигаться с неизменной скоростью, а шарики, кроме «разлета» могут вращаться вокруг центра масс - все это сохраняет часть кинетической энергии от перехода в электрическую. Итак, перейдем в систему, связанную с центром масс шариков; ее скорость удобно представить, как состоящую из двух компонент - вдоль прямой (начальный момент!) $\frac{2v}{3}$ и перпендикулярно ей $\frac{v}{З}$.
На рис. а и б показаны скорости шариков в системе центра масс сразу после начала движения и на максимальном удалении $3a$, соответственно. Во втором случае шарики уже не разлетаются и их скорости перпендикулярны прямой. Легко видеть, что скорость $v_{1}$ во столько раз меньше скорости $\frac{v}{3}$, во сколько раз расстояние до центра масс для этого шарика больше начального, т.е. $v_{1} = \frac{v}{9}$. Для легкого шарика эта скорость в два раза больше. Итак, баланс энергий:
$\frac{m \cdot 4v^{2}}{9} + \frac{2mv^{2}}{9} - \frac{m \cdot 2v^{2}}{81} - \frac{2mv^{2}}{2 \cdot 81} = kQ_{1}^{2} \left ( \frac{1}{a} - \frac{1}{3a} \right )$.
Отсюда получаем: $Q_{1} = v \sqrt{ \frac{17ma}{18k} } \approx 0,32 мкКл$.
Аналогично для величины $Q_{2}$, гарантирующей шарики от разлета на бесконечное расстояние. Но теперь можно не учитывать в энергии «вращательную» составляющую - при большом расстоянии между шариками эта компонента скорости становится пренебрежимо малой. Тогда получаем:
$\frac{m \cdot 4v^{2}}{9} + \frac{2mv^{2}}{9} = \frac{kQ_{2}^{2}}{a}; Q_{2} = v \sqrt{ \frac{2ma}{3k}} \approx 0,27 мкКл$.
Итак, при $Q_{1} \geq Q \geq Q_{2}$ шарики побывают дважды (и еще много раз) на расстоянии $3a$ друг от друга.
Вдали от всех других тел в космосе движутся два маленьких заряженных шарика:, масса одного из них 1г, другого - 2 г. Заряды шариков равны по величине и противоположны по знаку. В данный момент расстояние между шариками равно 1 м, скорость тяжелого шарика равна 1 м/с и направлена вдоль прямой, соединяющей центры шариков, в направлении от легкого шарика; скорость легкого шарика такая же по величине, но перпендикулярна указанной прямой. При какой величине зарядов шарики при дальнейшем движении побывают дважды на расстоянии 3 м друг от друга? Гравитационным взаимодействием шариков пренебречь.
Решение:
Заряды шариков не должны быть слишком велики - при этом они просто не разлетятся на расстояние $3a$, они не должны быть слишком малы - при этом шарики вообще разлетелись бы «на бесконечность» и не вернулись бы друг к другу. Итак, для того, чтобы шарики побывали на указанном расстоянии дважды (а в этом случае - и многократно), их заряды должны лежать в определенном интервале. Найдем его «верхнюю» границу, соответствующую случаю, когда максимальное расстояние между шариками составит $3a$. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии: кинетическая энергия шариков уменьшается при разлете и на такую же величину возрастает энергия электростатического взаимодействия зарядов. Однако не вся кинетическая энергия системы перейдет в электрическую: центр масс продолжает двигаться с неизменной скоростью, а шарики, кроме «разлета» могут вращаться вокруг центра масс - все это сохраняет часть кинетической энергии от перехода в электрическую. Итак, перейдем в систему, связанную с центром масс шариков; ее скорость удобно представить, как состоящую из двух компонент - вдоль прямой (начальный момент!) $\frac{2v}{3}$ и перпендикулярно ей $\frac{v}{З}$.
На рис. а и б показаны скорости шариков в системе центра масс сразу после начала движения и на максимальном удалении $3a$, соответственно. Во втором случае шарики уже не разлетаются и их скорости перпендикулярны прямой. Легко видеть, что скорость $v_{1}$ во столько раз меньше скорости $\frac{v}{3}$, во сколько раз расстояние до центра масс для этого шарика больше начального, т.е. $v_{1} = \frac{v}{9}$. Для легкого шарика эта скорость в два раза больше. Итак, баланс энергий:
$\frac{m \cdot 4v^{2}}{9} + \frac{2mv^{2}}{9} - \frac{m \cdot 2v^{2}}{81} - \frac{2mv^{2}}{2 \cdot 81} = kQ_{1}^{2} \left ( \frac{1}{a} - \frac{1}{3a} \right )$.
Отсюда получаем: $Q_{1} = v \sqrt{ \frac{17ma}{18k} } \approx 0,32 мкКл$.
Аналогично для величины $Q_{2}$, гарантирующей шарики от разлета на бесконечное расстояние. Но теперь можно не учитывать в энергии «вращательную» составляющую - при большом расстоянии между шариками эта компонента скорости становится пренебрежимо малой. Тогда получаем:
$\frac{m \cdot 4v^{2}}{9} + \frac{2mv^{2}}{9} = \frac{kQ_{2}^{2}}{a}; Q_{2} = v \sqrt{ \frac{2ma}{3k}} \approx 0,27 мкКл$.
Итак, при $Q_{1} \geq Q \geq Q_{2}$ шарики побывают дважды (и еще много раз) на расстоянии $3a$ друг от друга.
