Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16325
2024-03-13 
Нелинейный двухполюсник имеет «квадратичную» вольт-амперную характеристику: напряжение между его выводами пропорционально квадрату текущего через него тока. Двухполюсник подключают к батарейке напряжением $U$ последовательно с вольтметром, при этом вольтметр показывает половину напряжения батарейки. Параллельно двухполюснику подключают еще один такой же вольтметр. Найти показания вольтметров. Внутреннее сопротивление батарейки считать малым.
Решение:
Задачу эту можно решать при помощи обычных уравнений, задав вначале в аналитическом виде зависимость между током и напряжением двухполюсника, но можно обойтись и «домашними» средствами. Итак, при первом включении напряжение на двухполюснике равно напряжению на вольтметре и составляет $\frac{U}{2}$. Обозначим ток через приборы буквой $I$ (они были соединены в первый раз последовательно). Пусть после подключения вольтметра параллельно двухполюснику ток через двухполюсник стал равен $kI$, тогда напряжение на двухполюснике изменилось в $k^{2}$ раз и составило $\frac{k^{2}U}{2}$. Таким же стало напряжение на параллельном вольтметре, а ток через него стал $k^{2}I$ (во сколько раз изменилось напряжение на нем по отношению к половине напряжения батарейки, во столько же раз изменился и ток по отношению к $I$). Ясно, что через «последовательный» вольтметр теперь течет суммарный ток.
С другой стороны, напряжение на нем изменилось от $\frac{U}{2}$ до $\left ( U - \frac{k^{2}U}{2} \right )$, т.е. в $(2 - k^{2})$ раз. Приравнивая выражения для токов, мы получим уравнение относительно неизвестной величины $k$. Решив его, быстро получаем ответ задачи. Итак, $kI + k^{2}I = (2 - k^{2})I$. После сокращения величины $I$ получаем простое квадратное уравнение для определения $k: 2k^{2} + k - 2 = 0$. Нас интересует только положительный корень этого уравнения $k = \frac{ - 1 + \sqrt{17}}{4}$. Квадрат этого числа равен примерно 0,61; именно во столько раз изменилось напряжение на двухполюснике по отношению к половине напряжения батарейки - параллельный вольтметр показывает теперь $\frac{k^{2}U}{2} \approx 0,317$, а последовательный вольтметр - $\frac{ (2 - k^{2})U}{2} \approx 0,717$.
Нелинейный двухполюсник имеет «квадратичную» вольт-амперную характеристику: напряжение между его выводами пропорционально квадрату текущего через него тока. Двухполюсник подключают к батарейке напряжением $U$ последовательно с вольтметром, при этом вольтметр показывает половину напряжения батарейки. Параллельно двухполюснику подключают еще один такой же вольтметр. Найти показания вольтметров. Внутреннее сопротивление батарейки считать малым.
Решение:
Задачу эту можно решать при помощи обычных уравнений, задав вначале в аналитическом виде зависимость между током и напряжением двухполюсника, но можно обойтись и «домашними» средствами. Итак, при первом включении напряжение на двухполюснике равно напряжению на вольтметре и составляет $\frac{U}{2}$. Обозначим ток через приборы буквой $I$ (они были соединены в первый раз последовательно). Пусть после подключения вольтметра параллельно двухполюснику ток через двухполюсник стал равен $kI$, тогда напряжение на двухполюснике изменилось в $k^{2}$ раз и составило $\frac{k^{2}U}{2}$. Таким же стало напряжение на параллельном вольтметре, а ток через него стал $k^{2}I$ (во сколько раз изменилось напряжение на нем по отношению к половине напряжения батарейки, во столько же раз изменился и ток по отношению к $I$). Ясно, что через «последовательный» вольтметр теперь течет суммарный ток.
С другой стороны, напряжение на нем изменилось от $\frac{U}{2}$ до $\left ( U - \frac{k^{2}U}{2} \right )$, т.е. в $(2 - k^{2})$ раз. Приравнивая выражения для токов, мы получим уравнение относительно неизвестной величины $k$. Решив его, быстро получаем ответ задачи. Итак, $kI + k^{2}I = (2 - k^{2})I$. После сокращения величины $I$ получаем простое квадратное уравнение для определения $k: 2k^{2} + k - 2 = 0$. Нас интересует только положительный корень этого уравнения $k = \frac{ - 1 + \sqrt{17}}{4}$. Квадрат этого числа равен примерно 0,61; именно во столько раз изменилось напряжение на двухполюснике по отношению к половине напряжения батарейки - параллельный вольтметр показывает теперь $\frac{k^{2}U}{2} \approx 0,317$, а последовательный вольтметр - $\frac{ (2 - k^{2})U}{2} \approx 0,717$.
