Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16321
2024-03-13 
Два стержня, длины $L$ каждый, соединены концами шарнирно (рис.). Свободный конец одного из стержней шарнирно закреплен, а свободный конец другого стержня начинают двигать с постоянной по величине и направлению скоростью $v_{0}$. В начальный момент вектор скорости параллелен биссектрисе угла $2 \alpha$, составленного стержнями в этот момент. Найти величину и направление вектора ускорения шарнира, соединяющего стержни, через очень маленький отрезок времени после начала движения.
Решение:
Шарнир А, находящийся в вершине угла, дви-жется по окружности с центром в точке О закрепления системы. Обозначим его скорость $u$. Тогда проекции скоростей точек А и В на направление правого стержня должны быть равны между собой (стержень нерастяжим): $u \sin 2 \alpha = v_{0} \cos \alpha $. Теперь мы можем записать выражение для центростремительного ускорения интересующего нас шарнира: $a_{ц} = \frac{u^{2}}{L} = \frac{v_{0}^{2}}{4L \sin^{2} \alpha}$. Полное ускорение шарнира представим в виде суммы двух векторов - один из них ($\vec{a}_{1}$) направим против вектора $\vec{v}_{0}$, а другой $\vec{a}_{2}$ - перпендикулярно ему, влево. Тогда можно записать:
$a_{1} \cos \alpha + a_{2} \sin \alpha = a_{ц} = \frac{v_{0}^{2}}{4L \sin^{2} \alpha}$.
Перейдем в поступательно движущуюся систему отсчета, связанную с концом В правого стержня, - он движется с постоянной скоростью $v_{0}$. В этой системе верхний шарнир А снова движется по окружности, только ее центр находится в точке В. После несложных тригонометрических преобразований мы можем убедиться, что скорость шарнира A и в этом случае равна $\frac{v_{0} \cos \alpha}{ \sin 2 \alpha} = \frac{v_{0}}{2 \sin \alpha}$, поэтому центростремительное ускорение по величине осталось прежним, а по направлению изменилось. Теперь его величину можно выразить так:
$a_{1} \cos \alpha - a_{2} \sin \alpha = a_{ц} = \frac{v_{0}^{2}}{4L \sin^{2} \alpha}$.
Отсюда сразу следует, что $a_{2} = 0$, полный вектор ускорения верхнего шарнира в интересующий нас момент направлен против вектора (вдоль биссектрисы) и равен $\vec{v}_{0}$ по величине $a = a_{1} = \frac{v_{0}^{2}}{4L \sin^{2} \alpha \cos \alpha}$.
Два стержня, длины $L$ каждый, соединены концами шарнирно (рис.). Свободный конец одного из стержней шарнирно закреплен, а свободный конец другого стержня начинают двигать с постоянной по величине и направлению скоростью $v_{0}$. В начальный момент вектор скорости параллелен биссектрисе угла $2 \alpha$, составленного стержнями в этот момент. Найти величину и направление вектора ускорения шарнира, соединяющего стержни, через очень маленький отрезок времени после начала движения.
Решение:
Шарнир А, находящийся в вершине угла, дви-жется по окружности с центром в точке О закрепления системы. Обозначим его скорость $u$. Тогда проекции скоростей точек А и В на направление правого стержня должны быть равны между собой (стержень нерастяжим): $u \sin 2 \alpha = v_{0} \cos \alpha $. Теперь мы можем записать выражение для центростремительного ускорения интересующего нас шарнира: $a_{ц} = \frac{u^{2}}{L} = \frac{v_{0}^{2}}{4L \sin^{2} \alpha}$. Полное ускорение шарнира представим в виде суммы двух векторов - один из них ($\vec{a}_{1}$) направим против вектора $\vec{v}_{0}$, а другой $\vec{a}_{2}$ - перпендикулярно ему, влево. Тогда можно записать:
$a_{1} \cos \alpha + a_{2} \sin \alpha = a_{ц} = \frac{v_{0}^{2}}{4L \sin^{2} \alpha}$.
Перейдем в поступательно движущуюся систему отсчета, связанную с концом В правого стержня, - он движется с постоянной скоростью $v_{0}$. В этой системе верхний шарнир А снова движется по окружности, только ее центр находится в точке В. После несложных тригонометрических преобразований мы можем убедиться, что скорость шарнира A и в этом случае равна $\frac{v_{0} \cos \alpha}{ \sin 2 \alpha} = \frac{v_{0}}{2 \sin \alpha}$, поэтому центростремительное ускорение по величине осталось прежним, а по направлению изменилось. Теперь его величину можно выразить так:
$a_{1} \cos \alpha - a_{2} \sin \alpha = a_{ц} = \frac{v_{0}^{2}}{4L \sin^{2} \alpha}$.
Отсюда сразу следует, что $a_{2} = 0$, полный вектор ускорения верхнего шарнира в интересующий нас момент направлен против вектора (вдоль биссектрисы) и равен $\vec{v}_{0}$ по величине $a = a_{1} = \frac{v_{0}^{2}}{4L \sin^{2} \alpha \cos \alpha}$.
