Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16320
2024-03-13 
Электрическая цепь (рис.) содержит всего 40 резисторов, сопротивление каждого резистора первого «звена» равно $R$, второго - $10R$, третьего - $100R$ и так далее до 20 звена. Найти сопротивление между точками А и Б.
Решение:
Из условия задачи видно, что сопротивления звеньев быстро возрастают, для приближенного вычисления можно отбросить «удаленные» звенья - ответ почти не изменится. Для примера отбросим все звенья, кроме первого, в этом случае сопротивление составит $R_{1} = 2R$. Теперь оставим два звена, получится простая последовательнопараллельная схема, которую можно рассчитать обычными способами:
$R_{2} = R + \frac{R \cdot 20R}{R + 20R} = 1,9522R$.
Для трех звеньев получится $R_{3} = 1,951R$, т.е. почти тот же результат. Можно этим и ограничиться, можно посчитать еще несколько значений - ответ изменится совсем немного. Однако в этой задаче можно применить и другой способ расчета. Вместо того, чтобы отбрасывать липшие звенья, дополним эту цепь справа очень большим числом звеньев, сделаем эту цепочку бесконечной. Ясно, что изменения справа от звена номер 20 (а именно столько звеньев было в исходной цепи) уменьшат измеряемое сопротивление совсем мало, поэтому результат такого расчета будет очень точным. Обозначим искомое сопротивление $Z$ и попробуем его найти следующим образом: отбросим первое звено $R-R$, у нас получится цепь (тоже бесконечной длины!), все резисторы которой больше исходных ровно в 10 раз, значит, сопротивление этой цепи составляет 10И. Тогда вернем на место первое звено, а всю остальную цепочку заменим резистором $10Z$. Теперь можно записать:
$Z = R + \frac{R \cdot 10Z}{R + 10Z}$,
$10Z^{2} - 19RZ - R^{2} = 0$.
Мы получили простое квадратное уравнение для определения неизвестной величины $Z$. Отсюда:
$Z = \frac{R(19 + \sqrt{401})}{20} \approx 1,951R$.
Мы видим, что «почти точное» решение дает практически тот же результат, а точный ответ для исходной схемы заключен между двумя полученными нами.
Электрическая цепь (рис.) содержит всего 40 резисторов, сопротивление каждого резистора первого «звена» равно $R$, второго - $10R$, третьего - $100R$ и так далее до 20 звена. Найти сопротивление между точками А и Б.
Решение:
Из условия задачи видно, что сопротивления звеньев быстро возрастают, для приближенного вычисления можно отбросить «удаленные» звенья - ответ почти не изменится. Для примера отбросим все звенья, кроме первого, в этом случае сопротивление составит $R_{1} = 2R$. Теперь оставим два звена, получится простая последовательнопараллельная схема, которую можно рассчитать обычными способами:
$R_{2} = R + \frac{R \cdot 20R}{R + 20R} = 1,9522R$.
Для трех звеньев получится $R_{3} = 1,951R$, т.е. почти тот же результат. Можно этим и ограничиться, можно посчитать еще несколько значений - ответ изменится совсем немного. Однако в этой задаче можно применить и другой способ расчета. Вместо того, чтобы отбрасывать липшие звенья, дополним эту цепь справа очень большим числом звеньев, сделаем эту цепочку бесконечной. Ясно, что изменения справа от звена номер 20 (а именно столько звеньев было в исходной цепи) уменьшат измеряемое сопротивление совсем мало, поэтому результат такого расчета будет очень точным. Обозначим искомое сопротивление $Z$ и попробуем его найти следующим образом: отбросим первое звено $R-R$, у нас получится цепь (тоже бесконечной длины!), все резисторы которой больше исходных ровно в 10 раз, значит, сопротивление этой цепи составляет 10И. Тогда вернем на место первое звено, а всю остальную цепочку заменим резистором $10Z$. Теперь можно записать:
$Z = R + \frac{R \cdot 10Z}{R + 10Z}$,
$10Z^{2} - 19RZ - R^{2} = 0$.
Мы получили простое квадратное уравнение для определения неизвестной величины $Z$. Отсюда:
$Z = \frac{R(19 + \sqrt{401})}{20} \approx 1,951R$.
Мы видим, что «почти точное» решение дает практически тот же результат, а точный ответ для исходной схемы заключен между двумя полученными нами.
