Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16318
2024-03-13 
В кубическом сосуде объема $V = 1 л$ находится некоторое количество гелия при температуре $T = 300 К$. Оценить давление газа, при котором число ударов молекул друг о друга за некоторый отрезок времени равно числу ударов молекул о стенки сосуда.
Решение:
Для оценки числа ударов молекул друг о друга запишем известное выражение для длины свободного пробега молекул - среднего-расстояния, пробегаемого молекулой между последовательными ударами, - выразив его через величину диаметра молекулы $d$ и концентрацию $n$:
$\lambda = \frac{1}{ \pi d^{2}n}$.
Время пролета этого расстояния равно $\frac{ \lambda}{v}$, тогда за большой интервал времени $\tau$ молекула совершит $\frac{v \tau}{ \lambda}$ ударов о другие молекулы. Если число молекул в сосуде $N$, то для нахождения полного числа ударов молекул друг о друга нужно умножить число ударов одной молекулы о другие на число молекул, деленное на два, чтобы не учитывать удары дважды. Итак, полное число ударов молекул друг о друга за выбранный интервал времени $\frac{ 0,5 Nv \tau}{ \lambda} = 0,5Nv \tau \pi d^{2}n$.
Число ударов молекул о стенки сосуда можно найти обычным путем - это часть стандартного рассуждения при расчете давления газа на стенку сосуда. Обозначив величину компоненты скорости молекул вдоль одной выбранной оси $v_{x}$, длину ребра стенки сосуда $a$, получим для числа ударов о все 6 стенок куба за большой интервал времени $\tau$: $\frac{6 \tau v_{x}N}{2a}$. Приравнивая полученные выражения для числа ударов и учитывая, что значение компоненты скорости $v_{x}$ можно грубо оценить по энергии молекулы ($v_{x} = \frac{v}{ \sqrt{3}}$), получим выражение для концентрации молекул:
$0,5Nv \tau \pi d^{2}n = \frac{6 \tau vN}{2 \sqrt{3} a}; n = \frac{6}{ \sqrt{3} \pi d^{2}a} \approx 3 \cdot 10^{20} м^{-3}$.
Значение диаметра молекулы гелия мы взяли из справочника: $d = 2 \cdot 10^{-10} м$. Полученная концентрация соответствует величине давления в сосуде:
$P \approx nkT \approx 1 Па$.
Это очень маленькое давление, в обычных условиях число ударов молекул друг о друга во много раз превышает число ударов молекул о стенки сосуда.
В кубическом сосуде объема $V = 1 л$ находится некоторое количество гелия при температуре $T = 300 К$. Оценить давление газа, при котором число ударов молекул друг о друга за некоторый отрезок времени равно числу ударов молекул о стенки сосуда.
Решение:
Для оценки числа ударов молекул друг о друга запишем известное выражение для длины свободного пробега молекул - среднего-расстояния, пробегаемого молекулой между последовательными ударами, - выразив его через величину диаметра молекулы $d$ и концентрацию $n$:
$\lambda = \frac{1}{ \pi d^{2}n}$.
Время пролета этого расстояния равно $\frac{ \lambda}{v}$, тогда за большой интервал времени $\tau$ молекула совершит $\frac{v \tau}{ \lambda}$ ударов о другие молекулы. Если число молекул в сосуде $N$, то для нахождения полного числа ударов молекул друг о друга нужно умножить число ударов одной молекулы о другие на число молекул, деленное на два, чтобы не учитывать удары дважды. Итак, полное число ударов молекул друг о друга за выбранный интервал времени $\frac{ 0,5 Nv \tau}{ \lambda} = 0,5Nv \tau \pi d^{2}n$.
Число ударов молекул о стенки сосуда можно найти обычным путем - это часть стандартного рассуждения при расчете давления газа на стенку сосуда. Обозначив величину компоненты скорости молекул вдоль одной выбранной оси $v_{x}$, длину ребра стенки сосуда $a$, получим для числа ударов о все 6 стенок куба за большой интервал времени $\tau$: $\frac{6 \tau v_{x}N}{2a}$. Приравнивая полученные выражения для числа ударов и учитывая, что значение компоненты скорости $v_{x}$ можно грубо оценить по энергии молекулы ($v_{x} = \frac{v}{ \sqrt{3}}$), получим выражение для концентрации молекул:
$0,5Nv \tau \pi d^{2}n = \frac{6 \tau vN}{2 \sqrt{3} a}; n = \frac{6}{ \sqrt{3} \pi d^{2}a} \approx 3 \cdot 10^{20} м^{-3}$.
Значение диаметра молекулы гелия мы взяли из справочника: $d = 2 \cdot 10^{-10} м$. Полученная концентрация соответствует величине давления в сосуде:
$P \approx nkT \approx 1 Па$.
Это очень маленькое давление, в обычных условиях число ударов молекул друг о друга во много раз превышает число ударов молекул о стенки сосуда.
