ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2024-03-10   
Гантель, представляющая собой 2 материальные точки с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, соединёнными невесомым стержнем движется поступательно как единое целое и упруго ударяется о гладкую стену (при этом ось гантели направлена под углом $\alpha$ к стене). В каком случае возможен отскок гантели без повторного удара о стену? Рассмотреть $m_{1} = 3 кг , m_{2} = 1 кг, \alpha = 60^{ \circ}$.



Решение:



Отскок состоит в том, что массе $m_{2}$ передаётся импульс $P$, в результате чего гантель приобретает момент импульса и новый импульс (см. рис.). Момент импульса будем отсчитывать от центра масс гантели. Плечо передаваемого импульса равно

$l \cos \alpha \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$. (1)

Момент импульса равен

$L = Pl \cos \alpha \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$ (2)

Момент инерции гантели относительно центра масс равен

$I = l^{2} \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ (3)

(квадрат расстояния умножается на т.н. приведённую массу). Отсюда угловая скорость вращения

$\omega = \frac{P \cos \alpha}{m_{2}l}$. (4)

Энергия вращательного движения равна

$E_{вращ} = \frac{P^{2}}{2(m_{1} + m_{2})} \frac{m_{1}}{m_{2}} \cos^{2} \alpha$. (5)

Если скорость поступательного движения гантели до удара $v$, то скорость поступательного движения после удара равна

$v = \frac{P}{m_{1} + m_{2}}$, (6)

а энергия

$E_{поступ} = \frac{P^{2}}{2(m_{1} + m_{2})} + \frac{(m_{1} + m_{2})v^{2}}{2} - Pv$ (7)

Поскольку энергия сохраняется,

$E_{вращ} + E_{поступ} = E_{начальн} = \frac{(m_{1} + m_{2})v^{2}}{2}$ (8)

Отсюда

$P = \frac{2(m_{1}+ m_{2})v}{1 + \frac{m_{1}}{m_{2}} \cos^{2} \alpha}$. (9)

Скорость центра масс после удара (положительным направлением считаем движение после удара - от стенки) равна

$v_{ц} = \frac{m_{2} - m_{1} \cos^{2} \alpha}{m_{2} + m_{1} \cos^{2} \alpha} v$. (10)

Если эта величина отрицательна, то дальнейшие столкновения неизбежны, т.к. центр масс продолжает двигаться к стенке. Итак, первое необходимое условие отсутствия вторичных столкновений

$m_{2} > m_{1} \cos^{2} \alpha$ (11)

Для нашего конкретного случая это неравенство не выполняется, так что задачу можно считать решённой. (Ответ: вторичное соударение обязательно состоится).

Рассмотрим теперь движение массы $m_{2}$ после столкновения. Её расстояние от стенки определяется формулой

$x_{2} = \frac{lm_{1}}{m_{1} + m_{2}} [ \sin \alpha + \sin( \omega t - \alpha )] + v_{ц}t$ (12)


Пример графика этой функции для трёх близких значений угла $\alpha$ приведён на рис.. Критическое значение соответствует касанию графика оси абсцисс. Из условия касания следует, что

$\cos( \omega t - \alpha ) = \frac{m_{1} \cos^{2} \alpha - m_{2}}{2m_{1} \cos \alpha}$ (13)

Потребовав, чтобы правая часть (13) была по модулю больше единицы, мы получим достаточное условие отсутствия вторичных ударов для массы $m_{2}$:

$\cos \alpha \geq \sqrt{ \frac{m_{1} + m_{1} }{m_{1}} } - 1$ (14)

Нас интересует второй по счёту положительный корень уравнения (13) (см. рис. б).

Алгоритм проверки существования вторичных соударений уже достаточно простой:

$\frac{lm_{1}}{m_{1} + m_{2}} [\sin \alpha + \sin( \omega t - \alpha)] + v_{ц}t > 0$ при (15)

$t = \frac{ 2 \pi + \alpha - arccos \frac{m_{1} \cos^{2} \alpha -m _{2}}{2m_{1} \cos \alpha } }{ \omega }$