Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16312
2024-03-10 
На нитях одинаковой длины $L$ (см. рис.) висят (на общем подвесе) 2 заряда $q$ и $2q$ с массами соответственно $2m$ и $m$. Найти угол между нитями, считая, что кулоновское взаимодействие зарядов мало по сравнению с силой тяжести.
Решение:
Напишем выражение для потенциальной энергии. Для этого необходимо воспользоваться формулой, выражающей длину основания равнобедренного треугольника, если известна боковая сторона $L$ и угол при вершине $\phi$:
$a = 2L \sin \frac{ \phi}{2}$ (1)
тогда потенциальная энергия равна:
$U = \frac{2 kq^{2}}{2L \sin \left ( \frac{1}{2} ( \alpha + \beta ) \right )} - mgL ( 2 \cos \alpha + \cos \beta )$ (2)
Минимум потенциальной энергии соответствует нулевым частным производным этого выражения по $\alpha$ и $\beta$. Получим
$W \frac{ \cos \frac{ \alpha + \beta}{2}}{2 \sin^{2} \frac{ \alpha + \beta }{2}} = 2 \sin \alpha - \sin \beta$ (3)
где
$W = \frac{kq^{2}}{mgL^{2}}$ (4)
Учитывая, что ввиду малого кулоновского взаимодействия углы малы и, заменяя все синусы на их аргументы, а косинус на 1, получим
$\beta = 2 \alpha$ и $W = 9 \alpha^{3}$.
Окончательный ответ:
$\alpha + \beta = \left ( \frac{3 kq^{2}}{mgL^{2}} \right )^{1/3}$. (6)
На нитях одинаковой длины $L$ (см. рис.) висят (на общем подвесе) 2 заряда $q$ и $2q$ с массами соответственно $2m$ и $m$. Найти угол между нитями, считая, что кулоновское взаимодействие зарядов мало по сравнению с силой тяжести.
Решение:
Напишем выражение для потенциальной энергии. Для этого необходимо воспользоваться формулой, выражающей длину основания равнобедренного треугольника, если известна боковая сторона $L$ и угол при вершине $\phi$:
$a = 2L \sin \frac{ \phi}{2}$ (1)
тогда потенциальная энергия равна:
$U = \frac{2 kq^{2}}{2L \sin \left ( \frac{1}{2} ( \alpha + \beta ) \right )} - mgL ( 2 \cos \alpha + \cos \beta )$ (2)
Минимум потенциальной энергии соответствует нулевым частным производным этого выражения по $\alpha$ и $\beta$. Получим
$W \frac{ \cos \frac{ \alpha + \beta}{2}}{2 \sin^{2} \frac{ \alpha + \beta }{2}} = 2 \sin \alpha - \sin \beta$ (3)
где
$W = \frac{kq^{2}}{mgL^{2}}$ (4)
Учитывая, что ввиду малого кулоновского взаимодействия углы малы и, заменяя все синусы на их аргументы, а косинус на 1, получим
$\beta = 2 \alpha$ и $W = 9 \alpha^{3}$.
Окончательный ответ:
$\alpha + \beta = \left ( \frac{3 kq^{2}}{mgL^{2}} \right )^{1/3}$. (6)
