ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2024-03-10   
В схеме, изображённой на рис. в некоторый момент замыкают ключ $K$. Какой заряд протечёт через гальванометр $Г$ после замыкания ключа? Внутренним сопротивлением источника и сопротивлением гальванометра пренебречь.



Решение:


Обозначим полный ток $I$, ток через гальванометр $i$. Тогда токи, текущие через каждое сопротивление $R$ одинаковы и равны $\frac{I}{2}$. Ток через правое сопротивление $r$ равен $\frac{I}{2} + i$. Ток через индуктивность $\frac{I}{2} - i$. Тогда можно записать два уравнения:

$\frac{RI}{2} + r \left ( \frac{I}{2} + i \right ) = \mathcal{E}$ (1)
$\frac{RI}{2} + \frac{L d \left ( \frac{I}{2} - i \right )}{dt} + r \left ( \frac{I}{2} - i \right ) = \mathcal{E}$ (2)

Из первого уравнения выражаем $I$:

$\frac{I}{2} = \frac{ \mathcal{E} - ri}{R + r}$. (3)

Подставляем (3) в (2) и приводим подобные члены:

$\frac{di}{dt} = - \frac{ 2r(R+r) i}{L(R+2r)}$ (4)

Общее решение этого уравнения

$i = i_{0} e^{- \frac{2r(R + r)t}{L(R + 2r)}}$, (5)

где начальное значение тока $i_{0}$ определяем, заменяя индуктивность бесконечным сопротивлением.:

$i_{0} = \frac{ \mathcal{E}}{R+2r}$ (6)

Интегрируя (5) от 0 до бесконечности, получаем величину заряда, прошедшего через гальванометр:

$Q = \frac{L \mathcal{E}}{2r(R + r)}$ (7)