Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16307
2024-03-10 
Гантель с одинаковыми массами на концах (см. рис. ) сползает по гладкой стенке на гладкий пол. Найти горизонтальную скорость гантели после падения на пол, если начальная высота верхнего шарика равна $h$. Длина гантели равна $L$. Толщиной гантели и размерами шаров пренебречь.
Решение:
Пусть координата левого верхнего шара ($0, y$), а правого нижнего - ($x ,0$) вплоть до отрыва. Вертикальная скорость левого шара $- v_{л}$, горизонтальная правого $+ v$. Вертикальное ускорение левого шара $- a_{л}$, горизонтальное правого $+a$. Уравнение связи
$y^{2} + x^{2} = L^{2}$. (1)
После дифференцирования получаем уравнение для скоростей
$- v_{л}y + vx = 0$. (2)
Повторное дифференцирование даёт
$- a_{л}y + ax + v_{л}^{2} + v^{2} = 0$. (3)
Соскальзывание сопровождается сжатием стержня, которое по мере движения уменьшается и в какой-то момент становится равным 0. В этот момент происходит отрыв левого шара от стенки, после чего движение происходит с сохранением горизонтального импульса. Отсутствие сжатия стержня означает, что
$a_{л} = g, a = 0$, (4)
Мы имеем 2 уравнения для определения точки отрыва ((6) - уравнение закона сохранения энергии):
$v_{л}^{2} + v^{2} = gy$. (5)
$g (h - y) = \frac{1}{2} (v_{л}^{2} + v^{2})$ (6)
отсюда $y = \frac{2}{3} h$. Подставляя уравнение для скоростей в уравнение связи, получим уравнение для скорости правого шара в момент отрыва: $L^{2}v^{2} = gy^{3}$. Средняя горизонтальная скорость движения распределяется на оба шара, поэтому окончательно
$v_{ср} = \sqrt{ \frac{2gh^{3}}{27L^{2}}}$. (7)
Гантель с одинаковыми массами на концах (см. рис. ) сползает по гладкой стенке на гладкий пол. Найти горизонтальную скорость гантели после падения на пол, если начальная высота верхнего шарика равна $h$. Длина гантели равна $L$. Толщиной гантели и размерами шаров пренебречь.
Решение:
Пусть координата левого верхнего шара ($0, y$), а правого нижнего - ($x ,0$) вплоть до отрыва. Вертикальная скорость левого шара $- v_{л}$, горизонтальная правого $+ v$. Вертикальное ускорение левого шара $- a_{л}$, горизонтальное правого $+a$. Уравнение связи
$y^{2} + x^{2} = L^{2}$. (1)
После дифференцирования получаем уравнение для скоростей
$- v_{л}y + vx = 0$. (2)
Повторное дифференцирование даёт
$- a_{л}y + ax + v_{л}^{2} + v^{2} = 0$. (3)
Соскальзывание сопровождается сжатием стержня, которое по мере движения уменьшается и в какой-то момент становится равным 0. В этот момент происходит отрыв левого шара от стенки, после чего движение происходит с сохранением горизонтального импульса. Отсутствие сжатия стержня означает, что
$a_{л} = g, a = 0$, (4)
Мы имеем 2 уравнения для определения точки отрыва ((6) - уравнение закона сохранения энергии):
$v_{л}^{2} + v^{2} = gy$. (5)
$g (h - y) = \frac{1}{2} (v_{л}^{2} + v^{2})$ (6)
отсюда $y = \frac{2}{3} h$. Подставляя уравнение для скоростей в уравнение связи, получим уравнение для скорости правого шара в момент отрыва: $L^{2}v^{2} = gy^{3}$. Средняя горизонтальная скорость движения распределяется на оба шара, поэтому окончательно
$v_{ср} = \sqrt{ \frac{2gh^{3}}{27L^{2}}}$. (7)
