Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16303
2024-03-10 
Айсберг представляет собой параллелепипед $H \times L \times W$. При каких соотношениях между высотой $H$, длиной $L$ и шириной $W$ его плавание в вертикальном положении будет абсолютно неустойчивым? Принять, что $\frac{ \rho_{льда}}{ \rho_{воды}} = 0,9$
Решение:
При наклоне на малый угол $\alpha$ возникает момент силы Архимеда, который должен быть положительным (т.е. вращать против часовой стрелки). Для трапеции, заштрихованной на рисунке, необходимо взять интеграл по $x^{ \prime}$ и $y^{ \prime}$. Сила Архимеда равна:
$F_{A} = \rho_{в} g \int_{ - \frac{W}{2}}{ \frac{W}{2}} \int_{ - \frac{H}{2}}{ h + x^{ \prime} tg \alpha} dy^{ \prime} dx^{ \prime} = \rho_{в} g \frac{W(2h + H)}{2} = \rho_{л}gWH$
Поскольку $\frac{ \rho_{льда}}{ \rho_{воды}} = 0,9$, из этого уравнения получаем $h = 0,4H$. Момент силы Архимеда находится следующим образом. Момент силы от окрестности точки ($x^{ \prime}, y^{ \prime}$) равен $\rho_{в}gx dx^{ \prime} dy^{ \prime}$. Координата $x$ выражается как $x = x^{ \prime} \cos \alpha + y^{ \prime} \sin \alpha$ и момент силы выразится как
$M_{A} = \rho_{в}g \int_{ - \frac{W}{2}}{ \frac{W}{2}} \int_{ - \frac{H}{2}}{ h + x^{ \prime} tg \alpha} (x^{ \prime} \cos \alpha + y^{ \prime} \sin \alpha ) dy^{ \prime} dx^{ \prime} = \frac{ \rho_{в}g}{600} \left ( 25 W^{2} - 27 H^{2} + \frac{25 W^{2}}{ \cos^{2} \alpha} \right ) W \sin \alpha$ (2)
Если $50 W^{2} < 27 H^{2}$, вертикальное положение станет абсолютно неустойчивым. => переворот наступает при $\frac{H}{W} = \sqrt{ \frac{50}{27} } = 1,36$.
Айсберг представляет собой параллелепипед $H \times L \times W$. При каких соотношениях между высотой $H$, длиной $L$ и шириной $W$ его плавание в вертикальном положении будет абсолютно неустойчивым? Принять, что $\frac{ \rho_{льда}}{ \rho_{воды}} = 0,9$
Решение:
При наклоне на малый угол $\alpha$ возникает момент силы Архимеда, который должен быть положительным (т.е. вращать против часовой стрелки). Для трапеции, заштрихованной на рисунке, необходимо взять интеграл по $x^{ \prime}$ и $y^{ \prime}$. Сила Архимеда равна:
$F_{A} = \rho_{в} g \int_{ - \frac{W}{2}}{ \frac{W}{2}} \int_{ - \frac{H}{2}}{ h + x^{ \prime} tg \alpha} dy^{ \prime} dx^{ \prime} = \rho_{в} g \frac{W(2h + H)}{2} = \rho_{л}gWH$
Поскольку $\frac{ \rho_{льда}}{ \rho_{воды}} = 0,9$, из этого уравнения получаем $h = 0,4H$. Момент силы Архимеда находится следующим образом. Момент силы от окрестности точки ($x^{ \prime}, y^{ \prime}$) равен $\rho_{в}gx dx^{ \prime} dy^{ \prime}$. Координата $x$ выражается как $x = x^{ \prime} \cos \alpha + y^{ \prime} \sin \alpha$ и момент силы выразится как
$M_{A} = \rho_{в}g \int_{ - \frac{W}{2}}{ \frac{W}{2}} \int_{ - \frac{H}{2}}{ h + x^{ \prime} tg \alpha} (x^{ \prime} \cos \alpha + y^{ \prime} \sin \alpha ) dy^{ \prime} dx^{ \prime} = \frac{ \rho_{в}g}{600} \left ( 25 W^{2} - 27 H^{2} + \frac{25 W^{2}}{ \cos^{2} \alpha} \right ) W \sin \alpha$ (2)
Если $50 W^{2} < 27 H^{2}$, вертикальное положение станет абсолютно неустойчивым. => переворот наступает при $\frac{H}{W} = \sqrt{ \frac{50}{27} } = 1,36$.
