ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2024-03-10   
Колесо с двумя ободами (внешний $R$, внутренний $r$) катится с ускорением под действием груза массы $m$. Найти это ускорение, если масса колеса $M$, момент инерции $J$. Обратите внимание, что груз не обязательно расположен вертикально относительно колеса (см. рис.). При каких соотношениях между параметрами угол отклонения будет максимальным?



Решение:



Поворот обода на угол $\phi$ сопровождается удлинением на $x$, причём $x = \frac{(R + r) \phi}{2}$ (см. рис.) Горизонтальное движение обода $r \phi$. Горизонтальное движение грузика $r \phi - x \sin \alpha$. Вертикальное смещение грузика вниз $x \cos \alpha$. Кинетическая энергия равна

$\frac{ \omega^{2} (4r^{2}M +4J+m(R+r)^{2})}{8}$ (1)

Потенциальная энергия равна

$- mg \cos \alpha (R + r) \frac{ \phi}{2}$ (2)

Ускорение

$a = \frac{g \cos \alpha}{ \frac{4(J+Mr^{2})}{m(R+r)^{2}} +1}$ (3)

Уравнение для угла

$\frac{r \epsilon}{g} = tg \alpha$ (4)

Следовательно,

$\frac{tg \alpha}{ \cos \alpha} = \frac{2(R+r)rm}{4(J+Mr^{2}) + m(R+r)^{2}}$ (5)

Этот угол максимален при $J = M = 0; R = r$ и равен $38^{ \circ}$.