ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2024-03-10   
Однородная тонкая доска длины $L$ горизонтально лежит на двух одинаковых цилиндрических опорах, вращающихся на встречу друг другу с одинаковой скоростью $v$. Найти период колебаний, если расстояние между опорами $l$, а коэффициент трения $\mu$. Как изменится процесс, если увеличить толщину доски $d$?



Решение:



Момент сил относительно центра доски (см. рис.) равен 0:

$N_{2} \left ( \frac{l}{2} - x \right ) - N_{1} \left ( \frac{l}{2} + x \right ) =0$ (1)

Следовательно, для реакций опор можем записать:

$N_{1} = mg \left ( \frac{1}{2} - \frac{x}{l} \right ) \: N_{2} = mg \left ( \frac{1}{2} + \frac{x}{l} \right )$ (2)

Полная сила трения равна

$\mu (N_{1} - N_{2}) = -2 \mu mg \frac{x}{l}$ (3)

и по аналогии с маятником, найдём период колебаний:

$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{2 \mu g}}$ (4)

Если необходимо учесть толщину доски $d$, то все формулы записываются аналогично. Момент сил равен:

$N_{2} \left ( \frac{l}{2} - x \right ) - N_{1} \left ( \frac{l}{2} + x \right ) + \mu (N_{1} - N_{2}) \frac{d}{2} = 0$ (5)

откуда получим выражения для реакций опор:

$N_{1} = \frac{mg (- l + 2x + \mu d )}{2( \mu d - l)}, N_{2} = \frac{mg (-l -2x + \mu d)}{2( \mu d - l)}$ (6)

Полная сила трения в отличие от (4) равна

$-2 \mu mg \frac{x}{l - \mu d}$, (7)

а период колебаний -

$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l - \mu d}{2 \mu g} }$ (8)