Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16299
2024-03-10 
Нелинейность вольт-амперной характеристики лампы накаливания связана с тем, что сопротивление нити увеличивается с её нагревом. Получите зависимость тока через лампу от приложенного к ней напряжения при следующих упрощающих предположениях: теплоотдачу считать связанной с излучением ($P_{изл} \sim T^{4}$, где $T$ - абсолютная температура нити); сопротивление нити $R \sim T$. Параметры лампы 60 Вт; 220 В. Температуру нити можно считать равной 2800оК. Снизим напряжение до 200 В. Какой будет мощность лампы? Сильно ли упадёт световой поток? Считать, что спектральная зависимость излучения нити соответствует формуле Планка для чёрного тела
$\frac{dP}{dv} \sim \frac{v^{3}}{ e^{ \frac{h \nu}{kT} } - 1}$, (1)
а зависимость степени восприятия глазом света от частоты пропорциональна коэффициенту $k = (2v_{0} - v)^{2}(v - v_{0})^{2}$, где $v_{0} = 4 \cdot 10^{14} Гц$ (соответствует длине волны 750 нм).
Решение:
Зависимость тока от напряжения можно получить, комбинируя выражения для мощности лампы и для сопротивления её нити:
$P = UI =AT^{4}, R = \frac{U}{I} = BT$ (2)
где $A$ и $B$ - некоторые постоянные величины. Исключая из уравнений (2) температуру, получим:
$I = \left ( \frac{A}{B^{4}} \right )^{0,2} U^{0,6}$ (3)
Представим это выражение в более удобном виде, учитывая заданные в условии величины - при напряжении $U_{0} = 220 В$ мощность лампы равна $P_{0} = 60 Вт$:
$I_{0} = \frac{P_{0}}{U_{0}} = 0,27 А$ (4)
и
$I = I_{0} \left ( \frac{U}{U_{0}} \right )^{0,6} = 0,27 \left ( \frac{U}{220} \right )^{0,6}$. (5)
Если снизить напряжение до $U_{1} = 200 В$, то по этой формуле можно найти ток: $I_{1} = 0,94 I_{0}$. Напряжение $U_{1}$ составляет примерно $0,9U_{0}$, значит, мощность упадёт до
$P_{1} = U_{1}I_{1} \approx 0,85P_{0} \approx 50 Вт$. (6)
Однако световой поток упадёт при этом существенно больше, чем на 15%, поскольку при уменьшении температуры нити максимум излучения смещается в область длин волн, для которых чувствительность глаза меньше.
Насколько разумна модель, предложенная для расчёта? При небольших температурах излучение уже не составляет большей части отдаваемой нитью мощности - более существенной становится теплопроводность. Поэтому полученную формулу следует применять только в области высоких температур - т.е. при напряжениях не слишком меньших 200 В.
Чтобы определить изменение светового воспринимаемого потока, необходимо воспользоваться формулой Планка (1). Если считать, что характерная температура не превышает $3000 К$ (иначе даже вольфрамовая нить быстро испарится), то аргумент экспоненты для частот видимого света явно больше 6. Поэтому единицей в формуле (1) мы будем пренебрегать. По этой же причине можно пренебрегать интенсивностью излучения в фиолетовой части спектра, а значит, заменить верхний предел интегрирования на бесконечность. Изменение температуры в нашем случае
$T \sim U^{0,4}$ (7)
В нашем случае температура снизится с $2800 К$ до $2695 К$. Подынтегральное выражение будет пропорционально
$(2v_{0} - v)^{2}(v - v_{0})^{2} v^{3} e^{ - \frac{h \nu}{kT} }$, (8)
а результат интегрирования от $v_{0}$ до $\infty$ пропорционален
$K = \frac{(x^{2} - 6x + 12)e^{-x}}{x^{5}}$ (9)
где $x = \frac{ h \nu_{0}}{kT}$. В нашем случае $x$ меняется от $x_{0} = 6,905$ до $x_{1} = 7,173$. Подставляя эти значения в (9), получим $K_{0} = 11,66 \cdot 10^{-7}, K_{1} = 8,24 \cdot 10^{-7}$. Интенсивность восприятия светового потока уменьшится на 30%.
Нелинейность вольт-амперной характеристики лампы накаливания связана с тем, что сопротивление нити увеличивается с её нагревом. Получите зависимость тока через лампу от приложенного к ней напряжения при следующих упрощающих предположениях: теплоотдачу считать связанной с излучением ($P_{изл} \sim T^{4}$, где $T$ - абсолютная температура нити); сопротивление нити $R \sim T$. Параметры лампы 60 Вт; 220 В. Температуру нити можно считать равной 2800оК. Снизим напряжение до 200 В. Какой будет мощность лампы? Сильно ли упадёт световой поток? Считать, что спектральная зависимость излучения нити соответствует формуле Планка для чёрного тела
$\frac{dP}{dv} \sim \frac{v^{3}}{ e^{ \frac{h \nu}{kT} } - 1}$, (1)
а зависимость степени восприятия глазом света от частоты пропорциональна коэффициенту $k = (2v_{0} - v)^{2}(v - v_{0})^{2}$, где $v_{0} = 4 \cdot 10^{14} Гц$ (соответствует длине волны 750 нм).
Решение:
Зависимость тока от напряжения можно получить, комбинируя выражения для мощности лампы и для сопротивления её нити:
$P = UI =AT^{4}, R = \frac{U}{I} = BT$ (2)
где $A$ и $B$ - некоторые постоянные величины. Исключая из уравнений (2) температуру, получим:
$I = \left ( \frac{A}{B^{4}} \right )^{0,2} U^{0,6}$ (3)
Представим это выражение в более удобном виде, учитывая заданные в условии величины - при напряжении $U_{0} = 220 В$ мощность лампы равна $P_{0} = 60 Вт$:
$I_{0} = \frac{P_{0}}{U_{0}} = 0,27 А$ (4)
и
$I = I_{0} \left ( \frac{U}{U_{0}} \right )^{0,6} = 0,27 \left ( \frac{U}{220} \right )^{0,6}$. (5)
Если снизить напряжение до $U_{1} = 200 В$, то по этой формуле можно найти ток: $I_{1} = 0,94 I_{0}$. Напряжение $U_{1}$ составляет примерно $0,9U_{0}$, значит, мощность упадёт до
$P_{1} = U_{1}I_{1} \approx 0,85P_{0} \approx 50 Вт$. (6)
Однако световой поток упадёт при этом существенно больше, чем на 15%, поскольку при уменьшении температуры нити максимум излучения смещается в область длин волн, для которых чувствительность глаза меньше.
Насколько разумна модель, предложенная для расчёта? При небольших температурах излучение уже не составляет большей части отдаваемой нитью мощности - более существенной становится теплопроводность. Поэтому полученную формулу следует применять только в области высоких температур - т.е. при напряжениях не слишком меньших 200 В.
Чтобы определить изменение светового воспринимаемого потока, необходимо воспользоваться формулой Планка (1). Если считать, что характерная температура не превышает $3000 К$ (иначе даже вольфрамовая нить быстро испарится), то аргумент экспоненты для частот видимого света явно больше 6. Поэтому единицей в формуле (1) мы будем пренебрегать. По этой же причине можно пренебрегать интенсивностью излучения в фиолетовой части спектра, а значит, заменить верхний предел интегрирования на бесконечность. Изменение температуры в нашем случае
$T \sim U^{0,4}$ (7)
В нашем случае температура снизится с $2800 К$ до $2695 К$. Подынтегральное выражение будет пропорционально
$(2v_{0} - v)^{2}(v - v_{0})^{2} v^{3} e^{ - \frac{h \nu}{kT} }$, (8)
а результат интегрирования от $v_{0}$ до $\infty$ пропорционален
$K = \frac{(x^{2} - 6x + 12)e^{-x}}{x^{5}}$ (9)
где $x = \frac{ h \nu_{0}}{kT}$. В нашем случае $x$ меняется от $x_{0} = 6,905$ до $x_{1} = 7,173$. Подставляя эти значения в (9), получим $K_{0} = 11,66 \cdot 10^{-7}, K_{1} = 8,24 \cdot 10^{-7}$. Интенсивность восприятия светового потока уменьшится на 30%.
