Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16296
2024-03-10 
Тонкий, однородный, гибкий, но нерастяжимый трос длиной $l$ и массой $M$ вначале был подвешен за оба конца на близко расположенных друг от друга крюках (рис. а). В какой-то момент один конец троса освободился и начал падать (рис. b). Известно, что наибольшая нагрузка, которую выдерживает каждый из крюков, равна $N$ и превышает вес троса, равный $Mg$. При каком соотношении величин $Mg$ и $N$ верхний конец троса не вырвет крюк? Предполагается, что при падении каждый элемент троса, достигая своего конечного положения, останавливается и остаётся неподвижным.
Решение:
В ситуации, показанной на рис. b, скорость левой части троса равна $\sqrt{2gh}$, где $h$ - координата подвижного конца троса относительно начального его положения. Длина подвижной части троса равна $\frac{l - h}{2}$. Перемножая скорость, длину подвижной части и линейную плотность троса, равную $\frac{M}{l}$, получим импульс троса:
$P = \sqrt{ \frac{gh}{2}} \frac{M(l - h)}{l}$ (1)
Подставляем $h = \frac{gt^{2}}{2}$ и записываем закон сохранения импульса $\frac{dP}{dt} = Mg - F$, где $F$ - сила реакции места закрепления троса. Следовательно, $F = Mg - \frac{dP}{dt}$. Дифференцируя, получаем:
$F = Mg \left ( \frac{1}{2} + \frac{3gt^{2}}{4l} \right )$ (2)
Функция эта не имеет экстремума при положительных значениях $t$. Следовательно, максимум достигается при $h = l$ (когда $\frac{gt^{2}}{2} = l$). Подставляя это выражение в формулу для силы, получаем $F_{max} =2Mg$.
Тонкий, однородный, гибкий, но нерастяжимый трос длиной $l$ и массой $M$ вначале был подвешен за оба конца на близко расположенных друг от друга крюках (рис. а). В какой-то момент один конец троса освободился и начал падать (рис. b). Известно, что наибольшая нагрузка, которую выдерживает каждый из крюков, равна $N$ и превышает вес троса, равный $Mg$. При каком соотношении величин $Mg$ и $N$ верхний конец троса не вырвет крюк? Предполагается, что при падении каждый элемент троса, достигая своего конечного положения, останавливается и остаётся неподвижным.
Решение:
В ситуации, показанной на рис. b, скорость левой части троса равна $\sqrt{2gh}$, где $h$ - координата подвижного конца троса относительно начального его положения. Длина подвижной части троса равна $\frac{l - h}{2}$. Перемножая скорость, длину подвижной части и линейную плотность троса, равную $\frac{M}{l}$, получим импульс троса:
$P = \sqrt{ \frac{gh}{2}} \frac{M(l - h)}{l}$ (1)
Подставляем $h = \frac{gt^{2}}{2}$ и записываем закон сохранения импульса $\frac{dP}{dt} = Mg - F$, где $F$ - сила реакции места закрепления троса. Следовательно, $F = Mg - \frac{dP}{dt}$. Дифференцируя, получаем:
$F = Mg \left ( \frac{1}{2} + \frac{3gt^{2}}{4l} \right )$ (2)
Функция эта не имеет экстремума при положительных значениях $t$. Следовательно, максимум достигается при $h = l$ (когда $\frac{gt^{2}}{2} = l$). Подставляя это выражение в формулу для силы, получаем $F_{max} =2Mg$.
