Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16289
2024-03-09 
Частица движется в центральном силовом поле $\vec{F} = -k \vec{r}$ по круговой траектории радиусом $R_{0}$. Внезапно в некоторый момент времени происходит уменьшение коэффициента $k$ в два раза. Каким будет максимальное удаление частицы от силового центра? По какой траектории будет двигаться частица?
Решение:
В проекциях на координатные оси уравнение движения частицы имеет вид
$ma_{x} = - kx, ma_{y} = - ky$, т.е. движение по каждой оси происходит по закону гармонических колебаний с частотой $\omega_{1} = \sqrt{ \frac{k}{m}}$, амплитудой $R_{0}$ и максимальной скоростью $v_{0} = \omega_{1}R_{0}$, равной линейной скорости движения частицы по окружности. Выберем оси координат так, чтобы в тот момент, когда $k$ скачком уменьшается в два раза, частица находилась на оси $y$, тогда $x = 0$ и $y = R_{0}$. После этого движение в проекциях на оси будет происходить по закону гармонических колебаний с частотой $\omega_{2} = \frac{ \omega_{1}}{ \sqrt{2}}$, причем вдоль оси $y$ амплитуда колебаний останется равной $R_{0}$, а вдоль оси $x$ амплитуда станет равной $A_{x} = \frac{v_{0}}{ \omega_{2}} = \frac{ \sqrt{2} v_{0}}{ \omega_{1}} = \sqrt{2}R_{0}$.
Итак, движение частицы будет происходить по эллипсу с минимальным и максимальным удалениями от центра $R_{0}$ и $\sqrt{2} R_{0}$ соответственно.
Частица движется в центральном силовом поле $\vec{F} = -k \vec{r}$ по круговой траектории радиусом $R_{0}$. Внезапно в некоторый момент времени происходит уменьшение коэффициента $k$ в два раза. Каким будет максимальное удаление частицы от силового центра? По какой траектории будет двигаться частица?
Решение:
В проекциях на координатные оси уравнение движения частицы имеет вид
$ma_{x} = - kx, ma_{y} = - ky$, т.е. движение по каждой оси происходит по закону гармонических колебаний с частотой $\omega_{1} = \sqrt{ \frac{k}{m}}$, амплитудой $R_{0}$ и максимальной скоростью $v_{0} = \omega_{1}R_{0}$, равной линейной скорости движения частицы по окружности. Выберем оси координат так, чтобы в тот момент, когда $k$ скачком уменьшается в два раза, частица находилась на оси $y$, тогда $x = 0$ и $y = R_{0}$. После этого движение в проекциях на оси будет происходить по закону гармонических колебаний с частотой $\omega_{2} = \frac{ \omega_{1}}{ \sqrt{2}}$, причем вдоль оси $y$ амплитуда колебаний останется равной $R_{0}$, а вдоль оси $x$ амплитуда станет равной $A_{x} = \frac{v_{0}}{ \omega_{2}} = \frac{ \sqrt{2} v_{0}}{ \omega_{1}} = \sqrt{2}R_{0}$.
Итак, движение частицы будет происходить по эллипсу с минимальным и максимальным удалениями от центра $R_{0}$ и $\sqrt{2} R_{0}$ соответственно.
