Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16287
2024-03-09 
В течение какого промежутка времени может поддерживаться непрерывная радиосвязь между спутниками, если она возможна лишь при условии прямой видимости? Орбиты спутников лежат в одной плоскости на высоте 50 км и 100 км. Рассмотрите случаи, когда спутники движутся в одном направлении или навстречу друг другу.
Решение:
Времена сеансов прямой видимости в первом и втором случаях (рис.) составляют, соответственно,
$t_{1} = \frac{2( \phi_{1} + \phi_{2})}{| \omega_{1} - \omega_{2}|}$ и $t_{2} = \frac{2( \phi_{1} + \phi_{2})}{ \omega_{1} + \omega_{2}}$,
где $\omega_{1}, \omega_{2}$ - угловые скорости спутников. Угол $\phi_{1}$ равен
$\phi_{1} = arctg \frac{ \sqrt{2Rh_{1} + h_{1}^{2}}}{R} \approx \sqrt{ \frac{2h_{1}}{R}}$
(приведены как точная формула, так и приближенная с учетом того, что $h_{1} = 50 км \ll R = 6400 км$). Угловую скорость найдем из второго закона Ньютона
$G \frac{mM}{(R + h_{1})^{2}} = m \omega_{1}^{2} (R + h_{1})$,
откуда, с учетом равенства $g = \frac{GM}{R^{2}}$, получим
$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{gR^{2}}{(R + h_{1})^{3}}} = \sqrt{ \frac{g}{R}} \left ( 1 + \frac{h_{1}}{R} \right )^{3/2} \approx \sqrt{ \frac{g}{R}} \left ( 1 - \frac{3}{2} \frac{h_{1}}{R} \right )$.
Аналогичное выражение легко получается и для $\omega_{2}$. Подставляя $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ в формулы для времен сеансов, найдем
$t_{1} \approx \frac{4}{3} \frac{R}{h_{2} - h_{1}} \left ( \sqrt{ \frac{2h_{1}}{g} } + \sqrt{ \frac{2h_{2}}{g} } \right ) = 11,4 ч$,
$t_{2} = \sqrt{ \frac{2h_{1}}{g}} + \sqrt{ \frac{2h_{2}}{g}} = 4 мин$.
В течение какого промежутка времени может поддерживаться непрерывная радиосвязь между спутниками, если она возможна лишь при условии прямой видимости? Орбиты спутников лежат в одной плоскости на высоте 50 км и 100 км. Рассмотрите случаи, когда спутники движутся в одном направлении или навстречу друг другу.
Решение:
Времена сеансов прямой видимости в первом и втором случаях (рис.) составляют, соответственно,
$t_{1} = \frac{2( \phi_{1} + \phi_{2})}{| \omega_{1} - \omega_{2}|}$ и $t_{2} = \frac{2( \phi_{1} + \phi_{2})}{ \omega_{1} + \omega_{2}}$,
где $\omega_{1}, \omega_{2}$ - угловые скорости спутников. Угол $\phi_{1}$ равен
$\phi_{1} = arctg \frac{ \sqrt{2Rh_{1} + h_{1}^{2}}}{R} \approx \sqrt{ \frac{2h_{1}}{R}}$
(приведены как точная формула, так и приближенная с учетом того, что $h_{1} = 50 км \ll R = 6400 км$). Угловую скорость найдем из второго закона Ньютона
$G \frac{mM}{(R + h_{1})^{2}} = m \omega_{1}^{2} (R + h_{1})$,
откуда, с учетом равенства $g = \frac{GM}{R^{2}}$, получим
$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{gR^{2}}{(R + h_{1})^{3}}} = \sqrt{ \frac{g}{R}} \left ( 1 + \frac{h_{1}}{R} \right )^{3/2} \approx \sqrt{ \frac{g}{R}} \left ( 1 - \frac{3}{2} \frac{h_{1}}{R} \right )$.
Аналогичное выражение легко получается и для $\omega_{2}$. Подставляя $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ в формулы для времен сеансов, найдем
$t_{1} \approx \frac{4}{3} \frac{R}{h_{2} - h_{1}} \left ( \sqrt{ \frac{2h_{1}}{g} } + \sqrt{ \frac{2h_{2}}{g} } \right ) = 11,4 ч$,
$t_{2} = \sqrt{ \frac{2h_{1}}{g}} + \sqrt{ \frac{2h_{2}}{g}} = 4 мин$.
