Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16280
2024-03-09 
Схема простейшего ускорителя протонов, а именно циклотрона, представлена на рисунке. Частицы вылетают из источника 1, находящегося в центре между полыми электродами (дуантами) 2, и движутся по спиралевидной траектории 3 под действием постоянного магнитного поля с индукцией, равной $B$ и направленной перпендикулярно плоскости рисунка. Ускорение частиц происходит в резонансном высокочастотном электрическом поле $U = U_{0} \cos \Omega_{0}t$, приложенном между дуантами. По мере ускорения в результате эффекта релятивистского возрастания массы резонанс нарушается. Оцените максимальную энергию, до которой можно ускорить протоны в циклотроне с амплитудой ускоряющего напряжения на дуантах $U_{0} = 30 кВ$. Масса протона $m = 1,67 \cdot 10^{-27} кг$.
Решение:
Существенной особенностью рассматриваемой задачи является то, что релятивистский эффект прекращения ускорения частицы в циклотроне (вследствие потери резонанса) наступает в нерелятивистской области энергий. Действительно, запишем выражение для частоты обращения протона в циклотроне:
$\omega = \frac{eB}{m} \sqrt{ 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$,
где $v$ - скорость протона. Для разности периодов обращения частицы и изменения знака ускоряющего поля между дуанатами имеем
$\Delta T = 2 \pi \left ( \frac{1}{ \omega} - \frac{1}{ \Omega_{0}} \right )$,
где $\Omega_{0}$ - частота поля между дуанатами. Учитывая, что $\Omega_{0} = \frac{eB}{m}$, получим
$\Delta T = \frac{2 \pi}{eB} E_{k}$,
где $E_{k}$ - кинетическая энергия ускоряемого протона. За $N$ оборотов протон набирает энергию $E_{max} = 2eU_{0}N$. Оценивая число оборотов, совершаемое протоном до выхода из резонансного режима ускорения, из условия $\Delta T N = \frac{T}{4}$, найдем
$E_{max} \approx \sqrt{ eU_{0}mc^{2}} \approx 3 МэВ$.
Схема простейшего ускорителя протонов, а именно циклотрона, представлена на рисунке. Частицы вылетают из источника 1, находящегося в центре между полыми электродами (дуантами) 2, и движутся по спиралевидной траектории 3 под действием постоянного магнитного поля с индукцией, равной $B$ и направленной перпендикулярно плоскости рисунка. Ускорение частиц происходит в резонансном высокочастотном электрическом поле $U = U_{0} \cos \Omega_{0}t$, приложенном между дуантами. По мере ускорения в результате эффекта релятивистского возрастания массы резонанс нарушается. Оцените максимальную энергию, до которой можно ускорить протоны в циклотроне с амплитудой ускоряющего напряжения на дуантах $U_{0} = 30 кВ$. Масса протона $m = 1,67 \cdot 10^{-27} кг$.
Решение:
Существенной особенностью рассматриваемой задачи является то, что релятивистский эффект прекращения ускорения частицы в циклотроне (вследствие потери резонанса) наступает в нерелятивистской области энергий. Действительно, запишем выражение для частоты обращения протона в циклотроне:
$\omega = \frac{eB}{m} \sqrt{ 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$,
где $v$ - скорость протона. Для разности периодов обращения частицы и изменения знака ускоряющего поля между дуанатами имеем
$\Delta T = 2 \pi \left ( \frac{1}{ \omega} - \frac{1}{ \Omega_{0}} \right )$,
где $\Omega_{0}$ - частота поля между дуанатами. Учитывая, что $\Omega_{0} = \frac{eB}{m}$, получим
$\Delta T = \frac{2 \pi}{eB} E_{k}$,
где $E_{k}$ - кинетическая энергия ускоряемого протона. За $N$ оборотов протон набирает энергию $E_{max} = 2eU_{0}N$. Оценивая число оборотов, совершаемое протоном до выхода из резонансного режима ускорения, из условия $\Delta T N = \frac{T}{4}$, найдем
$E_{max} \approx \sqrt{ eU_{0}mc^{2}} \approx 3 МэВ$.
