Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16267
2024-03-09 
В однородно заряженном диэлектрическом шаре радиусом $R$ имеется сферическая полость радиусом $\frac{R}{2}$ с центром, удаленным на $\frac{R}{2}$ от центра шара (рис.). Полный заряд шара $O$. Вдоль прямой, соединяющей центры шара и полости, проделано узкое отверстие, в которое помещен точечный заряд $- q$ с массой $m$. Определите период его малых колебаний вблизи положения равновесия.
Решение:
Напряженность поля в отверстии на расстоянии $r$ от центра можно найти как суперпозицию поля однородно заряженного шара радиусом $R$ с зарядом $Q_{1} = \frac{8}{7} Q$ и отрицательно заряженного шара радиусом $\frac{R}{2}$ с зарядом $Q_{2} = \frac{Q}{7}$:
$E = k \frac{Q_{1}}{R^{2}} \frac{r}{R} - k \frac{Q_{2}}{ \left ( \frac{R}{2} + r \right )} = \frac{8}{7} k \frac{Q}{R^{2}} \left ( \alpha - \frac{1}{2(1 + 2 \alpha )^{2}} \right )$,
где $\alpha = \frac{r}{R}$. Отрицательный заряд $-q$ будет совершать малые колебания возле точки $r_{0} = \alpha_{0}R$, где напряженность поля равна нулю (рис.). Для $\alpha_{0}$ получаем уравнение
$2 \alpha_{0} (1 + 2 \alpha_{0})^{2} = 1$,
имеющее корень $\alpha_{0} \approx 0,2$. Подставив в выражение для напряженности $r = r_{0} + x (x \ll r_{0})$, получим
$E \approx \frac{8}{7} k \frac{Q}{R^{3}} \left ( 1 + \frac{2}{(1 + 2 \alpha_{0})^{3} } \right ) \cdot x$.
Следовательно, заряд $-q$ с массой $m$ будет совершать колебания с частотой
$\omega = \sqrt{ \frac{8}{7} k \frac{Qq}{mR^{3}} \left ( 1 + \frac{2}{(1 + 2 \alpha_{0} )^{3}} \right )}$.
В однородно заряженном диэлектрическом шаре радиусом $R$ имеется сферическая полость радиусом $\frac{R}{2}$ с центром, удаленным на $\frac{R}{2}$ от центра шара (рис.). Полный заряд шара $O$. Вдоль прямой, соединяющей центры шара и полости, проделано узкое отверстие, в которое помещен точечный заряд $- q$ с массой $m$. Определите период его малых колебаний вблизи положения равновесия.
Решение:
Напряженность поля в отверстии на расстоянии $r$ от центра можно найти как суперпозицию поля однородно заряженного шара радиусом $R$ с зарядом $Q_{1} = \frac{8}{7} Q$ и отрицательно заряженного шара радиусом $\frac{R}{2}$ с зарядом $Q_{2} = \frac{Q}{7}$:
$E = k \frac{Q_{1}}{R^{2}} \frac{r}{R} - k \frac{Q_{2}}{ \left ( \frac{R}{2} + r \right )} = \frac{8}{7} k \frac{Q}{R^{2}} \left ( \alpha - \frac{1}{2(1 + 2 \alpha )^{2}} \right )$,
где $\alpha = \frac{r}{R}$. Отрицательный заряд $-q$ будет совершать малые колебания возле точки $r_{0} = \alpha_{0}R$, где напряженность поля равна нулю (рис.). Для $\alpha_{0}$ получаем уравнение
$2 \alpha_{0} (1 + 2 \alpha_{0})^{2} = 1$,
имеющее корень $\alpha_{0} \approx 0,2$. Подставив в выражение для напряженности $r = r_{0} + x (x \ll r_{0})$, получим
$E \approx \frac{8}{7} k \frac{Q}{R^{3}} \left ( 1 + \frac{2}{(1 + 2 \alpha_{0})^{3} } \right ) \cdot x$.
Следовательно, заряд $-q$ с массой $m$ будет совершать колебания с частотой
$\omega = \sqrt{ \frac{8}{7} k \frac{Qq}{mR^{3}} \left ( 1 + \frac{2}{(1 + 2 \alpha_{0} )^{3}} \right )}$.
