Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16264
2024-03-09 
При какой наименьшей начальной скорости можно перебросить теннисный мяч с земли через прямоугольный ангар шириной $d = 20 м$ и высотой $h = 10 м$ (рис.)? А через полуцилиндрический ангар высотой $R = 10 м$?
Решение:
При любой форме ангара, траектория мяча при минимальной скорости должна касаться ангара в симметрично расположенных точках.
В случае прямоугольного ангара траектория проходит через две вершины прямоугольника (рис.). Поскольку скорость $v_{1}$ и начальная скорость $v_{0}$ связаны соотношением
$v_{0}^{2} = v_{1}^{2} + 2gh$
(которое следует из закона сохранения энергии), то минимальной величине соответствует минимальная величина $v_{0}$, которая соответствует углу $\beta = 45^{ \circ}$. Получаем
$d = \frac{v_{1}^{2}}{g}$, и $v_{0} = \sqrt{g (d + 2h)} = 20 м/с$.
В случае полуцилиндрического ангара обозначим за $h$ высоту тех точек, где траектория мяча касается ангара (рис.). Расстояние между точками касания равно $2R \sin \beta$, следовательно,
$\frac{ v_{1}^{2} \sin 2 \beta}{g} = 2R \sin \beta$,
или
$v_{1}^{2} = \frac{gR}{ \cos \beta} = \frac{gR^{2}}{h}$.
Из закона сохранения энергии получаем
$v_{0}^{2} = v_{1}^{2} + 2gh = g \left ( \frac{R^{2}}{h} + 2h \right )$.
Определив минимум этого выражения, найдем начальную скорость:
$v_{0} = \sqrt{2 \sqrt{2} gR} \approx 14 м/с$.
При какой наименьшей начальной скорости можно перебросить теннисный мяч с земли через прямоугольный ангар шириной $d = 20 м$ и высотой $h = 10 м$ (рис.)? А через полуцилиндрический ангар высотой $R = 10 м$?
Решение:
При любой форме ангара, траектория мяча при минимальной скорости должна касаться ангара в симметрично расположенных точках.
В случае прямоугольного ангара траектория проходит через две вершины прямоугольника (рис.). Поскольку скорость $v_{1}$ и начальная скорость $v_{0}$ связаны соотношением
$v_{0}^{2} = v_{1}^{2} + 2gh$
(которое следует из закона сохранения энергии), то минимальной величине соответствует минимальная величина $v_{0}$, которая соответствует углу $\beta = 45^{ \circ}$. Получаем
$d = \frac{v_{1}^{2}}{g}$, и $v_{0} = \sqrt{g (d + 2h)} = 20 м/с$.
В случае полуцилиндрического ангара обозначим за $h$ высоту тех точек, где траектория мяча касается ангара (рис.). Расстояние между точками касания равно $2R \sin \beta$, следовательно,
$\frac{ v_{1}^{2} \sin 2 \beta}{g} = 2R \sin \beta$,
или
$v_{1}^{2} = \frac{gR}{ \cos \beta} = \frac{gR^{2}}{h}$.
Из закона сохранения энергии получаем
$v_{0}^{2} = v_{1}^{2} + 2gh = g \left ( \frac{R^{2}}{h} + 2h \right )$.
Определив минимум этого выражения, найдем начальную скорость:
$v_{0} = \sqrt{2 \sqrt{2} gR} \approx 14 м/с$.
