ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2016-12-18   
Показатель преломления атмосферы некоторой планеты меняется с высотой $h$ над ее поверхностью по закону: $n = n_{0} - \alpha h$, при $h \ll \frac{n_{0}}{ \alpha}$. На какой высоте тонкий пучок света, выпущенный горизонтально, будет обходить планету, оставаясь все время на этой высоте? Радиус планеты $R$.


Решение:


Поскольку скорость распространения световой волны перпендикулярна ее фронту, время прохождения двумя лучами светового пучка полного оборота вокруг планеты одинаково:

$\frac{2 \pi R_{1}}{v_{1}} = \frac{2 \pi R_{2}}{ v_{2}}$, (1)

где $R_{1}$ и $R_{2}$ — расстояния от лучей до центра планеты, $v_{1}$ и $v_{2}$ — скорости света на расстояниях $R_{1}$ и $R_{2}$ от центра планеты соответственно:

$v_{1} = \frac{c}{n_{1}}$ (2)
$v_{2} = \frac{c}{n_{1}}$. (3)

Полагая, что

$R_{1} = R + h$ (4)
$R_{2} = R + h + \Delta h$, (5)

и учитывая условие задачи:

$h = h_{0} - \alpha h$, (6)

после несложных вычислений находим:

$h = \frac{1}{2} \left ( \frac{n_{0}}{ \alpha} - R \right )$

(учтено $\Delta h \ll h$).