ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2023-11-27   
Частица $A$ движется в одну сторону по траектории (см. рис.) с тангенциальным ускорением $a_{ \tau} = \vec{ \alpha} \vec{ \tau}$, где $\vec{ \alpha}$ - постоянный вектор, совпадающий по направлению с осью $x$, а $\vec{ \tau}$ - единичный вектор, связанный с частицей $A$ и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты. Найти скорость частицы в зависимости от $x$, если в точке $x = 0$ ее скорость равна нулю.



Решение:


Дифференциальное уравнение, определяющее зависимость скорости частицы $v$ от времени $t$, имеет вид

$\frac{dv}{dt} = a_{ \tau}$.

Учитывая, что

$\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx} v_{x} = \frac{dv}{dx} v \cos \theta$,

где $\theta$ - угол между векторами $\vec{ \alpha}$ и $\vec{ \tau}$, получаем

$\frac{dv}{dx} v \cos \theta = | \vec{ \alpha} | | \vec{ \tau} | \cos \theta$

или

$v \frac{dv}{dx} = \alpha$.

Решение этого дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, с учетом начального условия $x = 0$ при $t = 0$, дает искомую зависимость скорости частицы от ее координаты

$v = \sqrt{2 \alpha x}$.
Ответ: $v = \sqrt{2 \alpha x}$.