Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16255
2023-11-27 
Под каким углом к горизонту надо бросить шарик, чтобы:
а) центр кривизны вершины траектории находился на земной поверхности;
б) радиус кривизны начала его траектории был в $\eta = 8,0$ раз больше, чем в вершине?
Решение:
Уравнения движения тела, брошенного со скоростью $v_{0}$ под углом $\alpha$ к горизонту (см. рис.), имеют вид:
$x = v_{0}t \cos \alpha$,
$ = v_{0}t \sin \alpha - \frac{gt^{2}}{2}$,
а соответствующие зависимости от времени проекций скорости тела на горизонтальное и вертикальное направление таковы
$v_{x} = \frac{dx}{dt} = v_{0} \cos \alpha$
$v_{y} = \frac{dу}{dx} = v_{0} \sin \alpha - gt$.
Условие $v_{y} = 0$ определяет время движения тела до верхней точки траектории
$t_{1} = \frac{v_{0} \sin \alpha}{g}$,
а координата у верхней точки, получаемая при подстановке этого времени в уравнение движения тела, дает высоту подъема
$H = \frac{(v_{0} \sin \alpha)^{2}}{2g}$.
а) В вершине траектории нормальное ускорение равно $g$, а скорость тела равна $v = v_{x} = v_{0} \cos \alpha$, поэтому радиус кривизны траектории определяется выражением $R_{1} = \frac{(v_{0} \cos \alpha)^{2}}{g}$. По условию задачи $R_{1}=H$, откуда $tg \alpha = \sqrt{2}$ и $\alpha = 54,8^{ \circ}$.
б) Найдем радиус кривизны $R_{0}$ начала траектории движения тела. Как видно из рис. нормальное ускорение тела в точке бросания равно $a_{n} = g \cos \alpha$, поэтому $R_{0} = \frac{v_{0}^{2}}{g \cos \alpha}$. Используя выражение для радиуса кривизны траектории в вершине $R_{1} =\frac{(v_{0} \cos \alpha )^{2}}{ g}$ и соотношение $R_{0} = \eta R_{1}$, заданное по условию задачи, получаем $\cos \alpha = \eta^{-3} = \frac{1}{2}$ и $\alpha = 60^{ \circ}$.
Ответ: а) $\alpha = arctg \sqrt{2} = 54,8^{ \circ}$; б) $\alpha = arccos \eta^{-3} = 60^{ \circ}$.
Под каким углом к горизонту надо бросить шарик, чтобы:
а) центр кривизны вершины траектории находился на земной поверхности;
б) радиус кривизны начала его траектории был в $\eta = 8,0$ раз больше, чем в вершине?
Решение:
Уравнения движения тела, брошенного со скоростью $v_{0}$ под углом $\alpha$ к горизонту (см. рис.), имеют вид:
$x = v_{0}t \cos \alpha$,
$ = v_{0}t \sin \alpha - \frac{gt^{2}}{2}$,
а соответствующие зависимости от времени проекций скорости тела на горизонтальное и вертикальное направление таковы
$v_{x} = \frac{dx}{dt} = v_{0} \cos \alpha$
$v_{y} = \frac{dу}{dx} = v_{0} \sin \alpha - gt$.
Условие $v_{y} = 0$ определяет время движения тела до верхней точки траектории
$t_{1} = \frac{v_{0} \sin \alpha}{g}$,
а координата у верхней точки, получаемая при подстановке этого времени в уравнение движения тела, дает высоту подъема
$H = \frac{(v_{0} \sin \alpha)^{2}}{2g}$.
а) В вершине траектории нормальное ускорение равно $g$, а скорость тела равна $v = v_{x} = v_{0} \cos \alpha$, поэтому радиус кривизны траектории определяется выражением $R_{1} = \frac{(v_{0} \cos \alpha)^{2}}{g}$. По условию задачи $R_{1}=H$, откуда $tg \alpha = \sqrt{2}$ и $\alpha = 54,8^{ \circ}$.
б) Найдем радиус кривизны $R_{0}$ начала траектории движения тела. Как видно из рис. нормальное ускорение тела в точке бросания равно $a_{n} = g \cos \alpha$, поэтому $R_{0} = \frac{v_{0}^{2}}{g \cos \alpha}$. Используя выражение для радиуса кривизны траектории в вершине $R_{1} =\frac{(v_{0} \cos \alpha )^{2}}{ g}$ и соотношение $R_{0} = \eta R_{1}$, заданное по условию задачи, получаем $\cos \alpha = \eta^{-3} = \frac{1}{2}$ и $\alpha = 60^{ \circ}$.
Ответ: а) $\alpha = arctg \sqrt{2} = 54,8^{ \circ}$; б) $\alpha = arccos \eta^{-3} = 60^{ \circ}$.
