Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16254
2023-11-27 
Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости $v$ по закону $a = \alpha \sqrt{v}$, где $\alpha$ - положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна $v_{0}$. Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?
Решение:
Так как точка движется замедляясь, то дифференциальное уравнение, определяющее зависимость скорости точки от времени, имеет вид
$\frac{dv}{dt} = - \alpha \sqrt{v}$.
Решение этого уравнения с разделяющимися переменными, с учетом начального условия $v = v_{0}$ при $t = 0$, дает
$v = \left ( \sqrt{v_{0}} - \frac{ \alpha t}{2} \right )^{2}$.
Время $t_{0}$ до остановки точки определяется из условия $v = 0$, откуда
$t_{0} = \frac{2 \sqrt{v_{0}}}{ \alpha}$.
Найдем уравнение движения точки. Для этого направим ось $x$ вдоль прямой, по которой движется точка и составим дифференциальное уравнение ее движения
$v = \frac{dx}{dt} = \left ( \sqrt{v_{0}} - \frac{ \alpha t}{2} \right )^{2}$.
Решение этого уравнения имеет вид
$x = \int_{0}^{t} \left ( \sqrt{v_{0}} - \frac{ \alpha t}{2} \right )^{2} dt = \frac{2}{ 3 \alpha} \left [ \sqrt{v_{0}^{3}} - \left ( \sqrt{v_{0}} - \frac{ \alpha t}{2} \right )^{3} \right ]$,
а координата точки остановки определится подстановкой в это выражение времени движения точки до остановки $t_{0}$ вместо текущего времени $t$. Путь $s$ пройденный телом до остановки как раз равен этой координате, так как точка вплоть до остановки все время двигалась в одну и ту же сторону. В результате получим
$s = \frac{2}{3 \alpha} \sqrt{ v_{0}^{3}}$.
Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости $v$ по закону $a = \alpha \sqrt{v}$, где $\alpha$ - положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна $v_{0}$. Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?
Решение:
Так как точка движется замедляясь, то дифференциальное уравнение, определяющее зависимость скорости точки от времени, имеет вид
$\frac{dv}{dt} = - \alpha \sqrt{v}$.
Решение этого уравнения с разделяющимися переменными, с учетом начального условия $v = v_{0}$ при $t = 0$, дает
$v = \left ( \sqrt{v_{0}} - \frac{ \alpha t}{2} \right )^{2}$.
Время $t_{0}$ до остановки точки определяется из условия $v = 0$, откуда
$t_{0} = \frac{2 \sqrt{v_{0}}}{ \alpha}$.
Найдем уравнение движения точки. Для этого направим ось $x$ вдоль прямой, по которой движется точка и составим дифференциальное уравнение ее движения
$v = \frac{dx}{dt} = \left ( \sqrt{v_{0}} - \frac{ \alpha t}{2} \right )^{2}$.
Решение этого уравнения имеет вид
$x = \int_{0}^{t} \left ( \sqrt{v_{0}} - \frac{ \alpha t}{2} \right )^{2} dt = \frac{2}{ 3 \alpha} \left [ \sqrt{v_{0}^{3}} - \left ( \sqrt{v_{0}} - \frac{ \alpha t}{2} \right )^{3} \right ]$,
а координата точки остановки определится подстановкой в это выражение времени движения точки до остановки $t_{0}$ вместо текущего времени $t$. Путь $s$ пройденный телом до остановки как раз равен этой координате, так как точка вплоть до остановки все время двигалась в одну и ту же сторону. В результате получим
$s = \frac{2}{3 \alpha} \sqrt{ v_{0}^{3}}$.
