Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16253
2023-11-27 
Радиус-вектор частицы меняется со временем $t$ по закону $\vec{r} = \vec{b}t(1 - \alpha t)$, где $\vec{b}$ - постоянный вектор, $\alpha$ - положительная постоянная.
Найти:
а) скорость $\vec{v}$ и ускорение $\vec{a}$ частицы в зависимости от времени;
б) промежуток времени $\Delta t$, по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь, который она пройдет при этом.
Решение:
Дифференцируя радиус-вектор частицы $\vec{r}$ по времени, получаем скорость частицы $\vec{v}$ в виде
$\vec{v} = \frac{d \vec{r}}{ dt} = \vec{b} (1 - \alpha)$,
дифференцируя, затем, полученное выражение для скорости частицы V еще раз по времени, приходим к выражению для ускорения
$\vec{a} = -2 \alpha \vec{b}$.
Из этих выражений видно, что вектор ускорения частицы $\vec{a}$ постоянен и направлен навстречу ее скорости $\vec{v}$ и, следовательно, частица движется равнозамедленно. В некоторый момент времени $t_{0}$ частица достигнет точки поворота, в которой ее скорость $\vec{v}$ обратится в ноль. Условие $\vec{v} = 0$ определяет время движения частицы до точки поворота
$t_{0} = \frac{1}{2 \alpha}$,
а радиус-вектор точки поворота $\vec{r}_{0}$ найдем подстановкой времени $t_{0}$ в исходное выражение, определяющее зависимость радиуса-вектора частицы от времени
$\vec{r}_{0} = \vec{b}t_{0} (1 - \alpha t_{0}) = \frac{ \vec{b}}{4 \alpha}$.
Так как частица движется по прямой линии (вектор $\vec{b} = const$), то ее путь до поворота и обратно равен удвоенной длине радиуса-вектора $\vec{r}_{0}$ точки поворота. Следовательно, искомый путь равен
$s = 2 | \vec{r}_{0} | = \frac{ | \vec{b}|}{2 \alpha}$.
Промежуток времени $\Delta t$, по истечении которого частица вернется в исходную точку определяется из уравнения
$\vec{r} = \vec{b} t(1 - \alpha t) = 0$,
которое имеет два корня $t = 0$ и $t = \frac{1}{ \alpha}$. Первый корень соответствует моменту старта точки, а второй корень моменту ее возврата в точку старта. Поэтому искомый промежуток времени $\Delta t$ равен
$\Delta t = \frac{1}{ \alpha}$.
Ответ: а) $\vec{v} = \vec{b}(1 - 2 \alpha t); \vec{a} = - 2 \alpha \vec{b}$. 6) $\Delta t = \frac{1}{ \alpha}$; $s = \frac{| \vec{b}|}{2 \alpha}$
Радиус-вектор частицы меняется со временем $t$ по закону $\vec{r} = \vec{b}t(1 - \alpha t)$, где $\vec{b}$ - постоянный вектор, $\alpha$ - положительная постоянная.
Найти:
а) скорость $\vec{v}$ и ускорение $\vec{a}$ частицы в зависимости от времени;
б) промежуток времени $\Delta t$, по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь, который она пройдет при этом.
Решение:
Дифференцируя радиус-вектор частицы $\vec{r}$ по времени, получаем скорость частицы $\vec{v}$ в виде
$\vec{v} = \frac{d \vec{r}}{ dt} = \vec{b} (1 - \alpha)$,
дифференцируя, затем, полученное выражение для скорости частицы V еще раз по времени, приходим к выражению для ускорения
$\vec{a} = -2 \alpha \vec{b}$.
Из этих выражений видно, что вектор ускорения частицы $\vec{a}$ постоянен и направлен навстречу ее скорости $\vec{v}$ и, следовательно, частица движется равнозамедленно. В некоторый момент времени $t_{0}$ частица достигнет точки поворота, в которой ее скорость $\vec{v}$ обратится в ноль. Условие $\vec{v} = 0$ определяет время движения частицы до точки поворота
$t_{0} = \frac{1}{2 \alpha}$,
а радиус-вектор точки поворота $\vec{r}_{0}$ найдем подстановкой времени $t_{0}$ в исходное выражение, определяющее зависимость радиуса-вектора частицы от времени
$\vec{r}_{0} = \vec{b}t_{0} (1 - \alpha t_{0}) = \frac{ \vec{b}}{4 \alpha}$.
Так как частица движется по прямой линии (вектор $\vec{b} = const$), то ее путь до поворота и обратно равен удвоенной длине радиуса-вектора $\vec{r}_{0}$ точки поворота. Следовательно, искомый путь равен
$s = 2 | \vec{r}_{0} | = \frac{ | \vec{b}|}{2 \alpha}$.
Промежуток времени $\Delta t$, по истечении которого частица вернется в исходную точку определяется из уравнения
$\vec{r} = \vec{b} t(1 - \alpha t) = 0$,
которое имеет два корня $t = 0$ и $t = \frac{1}{ \alpha}$. Первый корень соответствует моменту старта точки, а второй корень моменту ее возврата в точку старта. Поэтому искомый промежуток времени $\Delta t$ равен
$\Delta t = \frac{1}{ \alpha}$.
Ответ: а) $\vec{v} = \vec{b}(1 - 2 \alpha t); \vec{a} = - 2 \alpha \vec{b}$. 6) $\Delta t = \frac{1}{ \alpha}$; $s = \frac{| \vec{b}|}{2 \alpha}$
