Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 16218
2023-09-02 
При работе на околосолнечной орбите существует опасность (по каким-либо фантастическим причинам) упасть на Солнце. Чтобы избежать этого, космонавты, работающие в открытом космосе, могут иметь при себе собранный ”зеркальный парашют” достаточно большой площади. В раскрытом виде сила давления света Солнца на него способна конкурировать с силой всемирного тяготения и предотвратить движение космонавта к светилу. Оцените, какую площадь должно иметь это устройство, чтобы таким образом спасти человека (груз) массой $m=100 кг$ на орбите Меркурия. Солнечная постоянная на орбите Земли составляет $W=1,4 кВт/м^{2}$. Скорость света $c=3 \cdot 10^{8} м/с$. Примите за 1 астрономическую единицу расстояние $R=150$ млн. км. Влиянием планет пренебречь.
Решение:
Спасение возможно при выполнении баланса между силами давления света на парус и всемирного тяготения. Вычислим силу давления света. Для этого воспользуемся уравнением Ньютона и представлениями о свете, как о пучке частиц фотонов, энергия которых определяется выражением $E_{ \gamma} = pc$. Здесь $p$ - импульс фотона, $c$ - скорость света. Так как поверхность парашюта зеркальна, можно считать удар фотона о поверхность упругим, а изменение импульса $2p$. Для силы давления света запишем:
$F = \frac{ \Delta p}{ \Delta t} = \frac{2pc \Delta N}{c \Delta t} = \frac{2 E_{ \gamma} \Delta NS}{c \Delta tS} = 2 \frac{W_{r}S}{c}$. (1)
Здесь $\Delta N$ - число фотонов, падающих на парашют за время $\Delta t$, $S$ - площадь поверхности, $W$ - солнечная постоянная на расстоянии $r$ от светила. Приравняем силу (1) к силе всемирного тяготения:
$2 \frac{W_{r}S}{c} = G \frac{Mm}{r^{2}}, S = G \frac{Mmc}{2W_{r}r^{2}}$. (2)
Для определения $W_{r}$ сравним ее с солнечной постоянной на орбите Земли. Заметим, что поверхностная плотность энергии излучения светила обратно пропорциональна квадрату расстоянии до него. Действительно, одна и та же мощность излучения распределена по сфере радиуса, равного радиусу орбиты Меркурия и радиусу орбиты Земли:
$W_{r} 4 \pi r^{2} = W 4 \pi R^{2}$. (3)
Тогда для (2) получим:
$S = \frac{c}{2W} \frac{GMm}{R^{2}} = \frac{c}{2W} m \omega^{2}R =\frac{c}{2W} mR \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} \approx 64 \cdot 10^{3} м^{2}$. (4)
Здесь $T$ - период обращения Земли вокруг Солнца.
Важно заметить, что сила давления света и сила всемирного тяготения одинаково зависят от расстояния до светила, поэтому размер парашюта не зависит от расстояния до Солнца и на орбите Меркурия, и на орбите Земли одинаков.
При работе на околосолнечной орбите существует опасность (по каким-либо фантастическим причинам) упасть на Солнце. Чтобы избежать этого, космонавты, работающие в открытом космосе, могут иметь при себе собранный ”зеркальный парашют” достаточно большой площади. В раскрытом виде сила давления света Солнца на него способна конкурировать с силой всемирного тяготения и предотвратить движение космонавта к светилу. Оцените, какую площадь должно иметь это устройство, чтобы таким образом спасти человека (груз) массой $m=100 кг$ на орбите Меркурия. Солнечная постоянная на орбите Земли составляет $W=1,4 кВт/м^{2}$. Скорость света $c=3 \cdot 10^{8} м/с$. Примите за 1 астрономическую единицу расстояние $R=150$ млн. км. Влиянием планет пренебречь.
Решение:
Спасение возможно при выполнении баланса между силами давления света на парус и всемирного тяготения. Вычислим силу давления света. Для этого воспользуемся уравнением Ньютона и представлениями о свете, как о пучке частиц фотонов, энергия которых определяется выражением $E_{ \gamma} = pc$. Здесь $p$ - импульс фотона, $c$ - скорость света. Так как поверхность парашюта зеркальна, можно считать удар фотона о поверхность упругим, а изменение импульса $2p$. Для силы давления света запишем:
$F = \frac{ \Delta p}{ \Delta t} = \frac{2pc \Delta N}{c \Delta t} = \frac{2 E_{ \gamma} \Delta NS}{c \Delta tS} = 2 \frac{W_{r}S}{c}$. (1)
Здесь $\Delta N$ - число фотонов, падающих на парашют за время $\Delta t$, $S$ - площадь поверхности, $W$ - солнечная постоянная на расстоянии $r$ от светила. Приравняем силу (1) к силе всемирного тяготения:
$2 \frac{W_{r}S}{c} = G \frac{Mm}{r^{2}}, S = G \frac{Mmc}{2W_{r}r^{2}}$. (2)
Для определения $W_{r}$ сравним ее с солнечной постоянной на орбите Земли. Заметим, что поверхностная плотность энергии излучения светила обратно пропорциональна квадрату расстоянии до него. Действительно, одна и та же мощность излучения распределена по сфере радиуса, равного радиусу орбиты Меркурия и радиусу орбиты Земли:
$W_{r} 4 \pi r^{2} = W 4 \pi R^{2}$. (3)
Тогда для (2) получим:
$S = \frac{c}{2W} \frac{GMm}{R^{2}} = \frac{c}{2W} m \omega^{2}R =\frac{c}{2W} mR \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} \approx 64 \cdot 10^{3} м^{2}$. (4)
Здесь $T$ - период обращения Земли вокруг Солнца.
Важно заметить, что сила давления света и сила всемирного тяготения одинаково зависят от расстояния до светила, поэтому размер парашюта не зависит от расстояния до Солнца и на орбите Меркурия, и на орбите Земли одинаков.
